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中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题 题 号 一 二 三 总 分 1～5 6～10 11 12 13 14 得 分 评卷人 复查人 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里不填、多填或错填都得0分） 1，则代数式的值为( ). （A）24 （B）25 （C） （D） 2．对于任意实数定义与之间的运算“△”为：（）△（）＝）．如果 都有（）△（）＝），那么（）为 （A）0，1 （B）1，0 （C）﹣1，0 （D）0，-1） 3．，，且满足，则的值为( ). （A）1 （B）2 （C） （D） 4．分别在△的边上，相交于点，设，则与的大小关系为( ). （A） （B） （C） （D）不能确定 5．，则的整数部分等于( ). （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．的方程有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是 . 7．1，2，2，3，3，41，3，4，5，6，8.8．为直线上的两点，过两点分别作y轴的平行线交双曲线（）于两点. 若，则 的值为 . 9．的最大值为a，最小值为b，则的值为 . 10．三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11．的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值. 12．为△的垂心，以为直径的⊙和△的外接圆⊙相交于点，延长交于点，求证：点为的中点. 13．为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点. （1）求证：∠=∠； （2）若点的坐标为（0，1），且∠=60o，试求直线的函数解析式. 14．，．点P在△ABC内，且，求△ABC的面积． 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题 A 解：因为， ， ， 所以 2． 解：依定义的运算法则，有即对任何实数都成立. 由于实数的任意性，得 （）=（1，0 3．，于是 ， 所以 ， 故，从而．于是． 4．，设，则，从而有．因为，所以． 5．时，因为 ， 所以 . 于是有，故的整数部分等于4． 二、填空题 6．3＜m≤4是方程的一个根，设方程的另外两个根为，则，．显然，所以 ≥0， 即 ，≥0，所以 ， ≥0， 解之得 3＜m≤4．36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以两数之和为5. 8．6 解：如图，设点的坐标为，点的坐标为,则点的坐标为，点的坐标为 因为点在双曲线上，所以． 由于， 又因为，于是 所以 即 9． 解：由≥0，且≥0，得≤≤． ． 由于，所以当时，取到最大值1，故． 当或1时，取到最小值，故． 所以，． 10．84 解：如图，设BC＝a，AC＝b，则 ＝1225． ① 又Rt△AFE∽Rt△ACB，所以，即，故 ． ② 由①②得 ， 解得a＋b＝49（另一个解－25． 三、解答题 的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得 ， 两式相加得 ， 即 ， 所以 或 解得 或 又因为 所以 ；或者， 故，或29. 12．证明：如图，延长交⊙于点， 连接. 因为为⊙的直径， 所以∠∠90°， 故为⊙的直径. 于是. 又因为点为△的垂心，所以 所以∥，∥，四边形为平行四边形. 所以点为的中点. 13．解：（1）作轴的垂线，垂足分别为. 设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）. 设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为 ,.由 得 ， 于是 ，即 . 于是 又因为，所以. 因为∠∠