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中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里不填、多填或错填都得0分） ，则的值为 （B） （C） （D） 解： 由题设得．a，b满足，则a的取值范围是 （ ）． （B）a4 （C）a≤或 a≥4 （D）≤a≤4 解．C 因为b是实数，所以关于b的一元二次方程 的判别式 ≥0,解得a≤或 a≥4． 3．四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD的长为（ ）．（A） （B） （C） （D）D 如图，过点A，D分别作AEDF垂直于直线BC，垂足分别为EF． 由已知可得 BE=AE=，CF＝，DF＝2， EF＝4＋．根据勾股定理得 AD＝． ．在……中，，当k2时， 表示实数的整数，例如，，则等于（ ）． A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B 由和可得 ，，，，，，，，2010=4×502+2，=2． 5．如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形ABCD的顶点分别为A1，1，B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，，重复操作依次得到点P1，P2，， 点P2010的坐标（ ）． （A）（2010，2） （B）（2010，）（C）（2012，） （D）（0，2）B由已知可以得到，点，的坐标为（2，）． ，其中．根据对称关系可求得，，，． 令，可求得的坐标为（），即（）由于2010=4502+2，点的坐标为（2010，）．二、填空题 6．a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 等于 ． 0 由已知得 (a＋1)2＝5，a2＋2a＝4，2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向行驶．在某一时刻客车在前小轿车在后货车在客车小轿车的正中．10分钟小轿车追上了货车又过了5分钟小轿车追上了客车再过分钟，货车追上了客车．15 设货车与客车、小轿车的距离均为S，小轿车货车客车的速度分别为，并设货车经x分钟追上客车，由题意得 ① ， ② ． ③ 由①②，得所以x=30． 故 （分）． 8．如图，在平面直角坐标系中多边形．若直线将多边形分割成面积相等的两部分，则的函数表达式是． 解： 如图，延长BC交x轴于点F；连CE，DF，且相交于点N．把矩形ABFO分成面积相等的两部分．点中．，即为所求直线．设的函数表达式为， 解得 ,故所求直线．9．射线AM，BN都垂直于线段AB，E为AM上一点，．CD＝CF，则 ． 见题图，设．Rt△AFB∽Rt△ABC，所以 ．FC＝DC＝AB即 ，，或（舍去）．Rt△∽Rt△，所以， 即=．10．对于，正整数除以的余数为．若的最小值满足，则的最小值为 ． 因为为的倍数，所以的最小值满足，其中的最小公倍数． ， 因此满足的的最小值为． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） ． 证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以 ED⊥BC， FD⊥BC， 因此D，E，F三点共线. …………（5分） 连接AE，AF，则 ， 所以，△ABC∽△AEF. …………（10分） 作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得 ， 从而 ， 所以 . …………（20分） 12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）. （1）求实数a，b，k的值； （2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标. 解：（1）上， 所以k=4. 故双曲线的函数表达式为. 设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有 解得，. 于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故 ，整理得，解得，＝（舍去）．B的坐标为（，）． （a0）上，所以 解得