函数与方程思想概述..doc

函数与方程思想概述(数学周报藏保将约稿) (约稿时间：10.27日---------交稿时间11.5sxzb_dgg3@126.com) 吉安县二中:肖圣明(343100) 函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点。其可分为函数思想与方程思想。 函数思想是：运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图象或性质去分析问题，转化问题，从而使问题获得解决，其精髓是构造函数。 方程思想是：通过分析问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或运用方程的性质去分析，转化问题，使问题易于解决，其精髓是方程（组）的确定。 函数思想与方程思想密切相关，因为函数式也可视为方程式，如：函数式可看做是二元一次方程：；又如令，得到关于x方程： ，这种相互转化关系十分重要，正因为这样，可以说函数与方程思想几乎渗透到中学教学的各个领域，因此在每年的高考题中凸显其重要性。为帮助同学们更好地掌握这一思想，现从如下几个方面加以概述。 一： 考点分析 函数与方程思想的能力考查：从目前的高考中对函数与方程思想的能力考查主要体现在四个方面：数学运算能力的考查、数学转换能力的考查、识别能力的考查、空间想象能力的考查。 函数与方程思想题型的考查：从目前高考中对函数与方程思想的考查分布在选择题、填空题、解答题上都有体现，可以说是贯穿于整份试卷。 函数与方程思想知识点的考查：从目前高考中对函数与方程思想知识点的考查主要体现在：（1）求函数定义域、值域、单调性、奇偶性等；（2）函数、方程、不等式相互转化求含参范围等问题；（3）运用函数与方程研究数列问题；（4）运用函数与方程研究二项式问题；（5）运用函数与方程研究解几问题；（6）运用函数与方程研究立几问题。（7）运用函数方程研究实际问题。 二：应用模式 模式1、函数与方程的思想解其相互间性质等问题； 模式2、函数、方程思想解不等式问题； 模式3、函数、方程思想解数列问题； 模式4、函数、方程思想解二项式定理中的值问题； 模式5、函数、方程思想解几中的最值问题； 模式6、函数、方程思想解立几中的问题； 模式7、函数、方程思想解决一些实际问题； 三：重要考点解读 函数与方程思想是高中数学中一种很重要的数学思想，尤其体现在知识点相互渗透的结合中，因此在平时的学习或各种考试中同学们要熟悉这种思想的常见结合形式与处理问题的方法，并会通过一些模式来快速切入。 (1)函数和方程之间转化的考查：对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。同样对于方程f(x)＝0，也可记函数y＝f(x)，或方程y－f(x)＝0，记函数y＝f(x)，从函数的角度来研究。 (2)函数与不等式之间相互转化的考查：对于函数y＝f(x)，当y＞0f(x)＞0 (3)函数与数列的考查：由于数列是一种特殊的函数，特别是数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，可从函数的观点处理数列问题。 (4)函数 (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题； (5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，可通过解二元方程组解决，或有些问题通过构造造成函数来解。 (6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。 四：典例分析 模式一、函数与方程的思想解其相互间性质等问题 运用函数的方法与方程思想来研究和解决问题，其精髓是构建函数或确定方程，通过对近年高考试卷的分析主要体现在下面几个方面。 选取变元，确定新的函数关系 例1：函数的值域（ ） A． B．　　　C．　　　D．　 分析：这个函数是由两个根式函数组成，但其单调性一增一减，为此一般思路要进行平方、移项、再平方、等等变式化为有理式，其难度较大，为此应重新选取变元，确定一种新的函数关系。 解：由， 故可设，则 故原函数变为：， ， 从正弦函数图象上易求得：，故选Ｂ ［点评］通过对原函数的特点的分析，重新选用变元，确立一种新的函数是一种化难为易的方法，但要注意新函数的定义域的变化。 ２、选定主元，揭示函数关系 例２：已知对于任意的，函数的值总大于0，则x的取值范围是（　　　　　　） Ａ． 　Ｂ．或　　Ｃ．　　Ｄ．或 分析：由于题意给出的，因此可视为以a为主元，x为次元， 重新揭示函数的关系，不妨记，得到关于a的一次函数关系了，因此题意转化为在下求x的范围。 解：记， 依题只须：，故选Ｂ ［点评］对于一个函数中出现几个变量时，应分析以各个变量为主元下的函数问题的处理