06-07线代试卷B.doc

一、选择题 1、已知A为n阶可逆方阵，且5=，则k =（C）。 A、5 B、±5 C、 D、 2、已知矩阵，，，则下列运算可以进行的是（A）。 A、ABCT B、ATCB C、CB-1A D、ABC 3、若矩阵 =的秩为2，则=（B） A、0 B、1 C、2 D、3 4、已知A为m×n矩阵，且r（A）= r n，则下列结论中正确的是（C） A、A的列向量组中，任意r个向量线性无关 B、A的列向量组中，任意一个向量可由其余r个列向量线性表示 C、A的列向量组中，任意r + 1个列向量线性相关 D、A的任一r阶子式不等于零 5、如果n阶方阵A与n阶方阵B相似，则（B）。 A、A与B有相同的特征值及特征向量 B、Ak与Bk相似（k为正整数） C、存在对角矩阵，使A与B都相似于 D、 6、向量组，，…， 线性无关的充分必要条件是（D） A、，，…，均不是零向量 B、，，…，中任意两个向量都不成比例 C、，，…，中有一个部分组线性无关 D、，，…，中任意一个向量均不能由其余s - 1个向量线性表示 7、设矩阵，则A合同于矩阵（A）。 A、 B、 C、 D、 8、设矩阵，线性方程组AX = 0仅有零解的充分必要条件是（C）。 A、A的行向量线性无关 C、A的行向量线性相关 C、A的列向量线性无关 D、A的列向量线性相关 9、设矩阵，I，则下列矩阵中是可逆矩阵的是（D）。 (a) (b) (c) (d) 二、填空题 1、方程组 只有零解，则应满足的条件是。 2、已知A为n阶可逆矩阵，则A。 3、设有向量u，则u的单位化向量是。 4、已知四阶行列式D的第二行元素依次为1，-2，20，-1，第四行元素的代数余子式依次是-2，k，0，10，则k = -6。 5、已知A为二阶实对称方阵，且= -10 。如果A的一个特征值是2，则A的另一个特征值是k = -5。 6、已知三阶方阵A的特征值是2，3，5，则A的伴随矩阵A*的特征值是15，10，6。 7、当t =时，向量组=（1，2，-2），=（4，t，3）， =（3，-1，1）线性无关。 8、设行列式D =，则D = 9、设有矩阵A =，则它的二次型为。 三、计算题 已知方阵A，求（1）A2　　（2）A-1　　（3） 解：（1）A2= 4I （2）由A2 = 4I，得，故 （3）由A2 = 4I，得，故 四、计算题 向量组=（1，1，2，3），=（1，-1，1，1），=（1，3，3，5），=（4，-2，5，6） （1）求向量组，，，的秩 （2）求向量组，，，的一个极大无关组 （3）将其余向量用（2）中的极大无关组线性表示 解：（1）A = （2）由最后一个矩阵可知线性无关，再由（1）得为一个极大无关组 （3）由最后一个矩阵可知：， 五、讨论题 设有方程组 ，问当取何值时， （1）方程组有唯一解　　（2）方程组有无穷多解　　（3）方程组无解. 解：系数行列式： （1）当，由克莱姆法则，方程组有唯一解 （2）当，方程组的增广矩阵 ，故方程组有无穷多解 （3）当，方程组的增广矩阵： ，故方程组无解 六、计算题 用齐次线性方程组基础解系表示如下线性方程组的全部解 解：方程组的增广矩阵： 同解方程组为 令，得一个特解 原方程组对应的齐次方程组的一个基础解系为：， 故原方程组的全部解为： ，其中，，为任意常数。 七、计算题 已知方阵A = （1）求A的特征值及特征向量 （2）问A能否与对角矩阵相似，为什么？ （3）若A能与对角矩阵相似，求满足P-1AP =的对角矩阵及变换矩阵P。 解：（1） ，，所以矩阵A有特征值1和-1。 当时，方程组的基础解系为 对应于的A的所有特征向量为 当时，方程组的基础解系为， 对应于的A的所有特征向量为 （2）三阶矩阵A有3个线性无关的特征向量，故能与对角矩阵相似。 （3）令，则=，从而有P-1AP = 八、证明题 已知n阶方阵A满足A2 = A，且r（A）= r n，证明： （1）A的特征值只能是0或1 （2）A能与对角矩阵相似 解：（1）设是A的对应于特征值的特征向量，则。 ，即， ，故或 （2）令，其中是A的第i列 由r（A）= r n，A有r个列向量线性无关 不妨设线性无关，因为A2 = A，即 是A的对应于特征值的特征向量 对于方程组AX = 0，其基础解系由n - r个解向量组成 因为0是的特征值，所以（0I - A）X = -AX = 0 即AX = 0的基础解系是特征值的特征向量。故对应于特征值，A有n - r个线性无关特征向量。从而A有n个线性无关特征向量。因此A能与对角矩阵相似