倒立摆实验报告..docx

线性控制系统实验报告——倒立摆实验院系航空学院学号2013200097姓名冀小龙倒立摆模型的建立1.数学模型直线一级倒立摆系统可以抽象成小车和匀质杆组成的系统，忽略空气阻力以及各种摩擦，如下图 1-1 所示：其中，M表示小车质量，m表示摆杆质量，b表示小车摩擦系数，l表示摆杆转动轴心到杆质心的长度，I表示摆杆的转动惯量，F表示加在小车上的外力，x表示小车的位置，表示摆杆与垂直向上方向的夹角，表示摆杆与垂直向下方向的夹角（初始方向）。下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中， N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。分析小车水平方向所受的力，可得以下方程：由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：（1-1）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：力矩平衡方程如下：合并这两个方程，约去 P 和 N，得到第二个运动方程：（1-2）设（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ远远小于1，可以进行近似处理：用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：（1-3）2.传递函数模型对方程组（1-3）进行拉普拉斯变换，得到（1-4）推导传递函数时假设初始条件为0。整理后得到传递函数：其中：3.状态空间方程对方程组(3)解代数方程，得到解如下：整理后得到系统状态空间方程：若考虑到存在以下关系：则有：至此，系统建模完成。4.开环系统仿真倒立摆系统的模型参数如下：小车质量M=1.096Kg，摆杆质量m=0.109Kg，小车摩擦系数b=0.1N/m/sec，摆杆转动轴心到杆质心的长度=0.25m，摆杆的转动惯量=0.0034Kg*m*m.分别带入上述模型得：传递函数模型：状态空间方程模型：仿真实验基于MATLAB的SIMULINK平台，鉴于本科阶段已经接触并使用本平台，在本实验中不再对其进行详细介绍。传递函数阶跃响应曲线、开环波特图、零极点num=[2.35655 0];den=[1 0.0883167-27.9169 -2.30942];sys=tf(num,den);step(sys)从上图可以看出，开环阶跃响应在仿真结束时刻趋于无穷(即发散)，系统不稳定。由开环波特图可以看出系统无截止频率（与0dB线无交汇），且带宽非常小，系统特性非常恶劣。因此必须加入控制环节进行调节。num=[2.35655 0];den=[1 0.0883167 -27.9169 -2.30942];sys=tf(num,den);[z,p,k]=tf2zp(num,den); spk=zpk(z,p,k)》Zero/pole/gain: 2.3565 s------------------------------------------(s-5.281) (s+5.286) (s+0.08272)显然，有一极点s=5.281，位于右半平面，系统不稳定。2）状态方程阶跃响应A=[ 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0];B=[ 0 1 0 3];C=[ 1 0 0 0;0 1 0 0];D=[ 0 0 ];step(A, B ,C ,D)单位阶跃响应下，小车位置和摆杆角度均发散，因此需要加入控制环节来改善系统特性。控制器设计改善系统性能1.PID控制器设计PID控制是最早发展起来的线性控制策略之一，至今已有半个多世纪的历史，在工程实践领域运用十分广泛。PID控制由比例(Proportional)环节、积分(Integral)环节和微分(Differential)环节组成，其典型结构图下图所示：连续控制系统PID控制规律可以由如下公式表示式中，为比例系数，为积分系数，为微分系数，为积分时间常数，为微分时间常数。对实际系统运用PID控制时，并不是所有参数都必须有，有的采用PI控制，有的采用PD控制，有的采用PID控制，根据系统的具体控制要求来选择组合形式。其中，由PD控制器构成的超前校正，可以提高系统的稳定裕度，并获得足够的快速性，但稳态精度可能会受到影响；由PI控制器构成的滞后校正，可以保证稳态精度，却是以牺牲系统的快速性换取的；用PID控制器可以实现滞后-超前校正兼有的优点，可以全面提高系统的控制性能，但具体实现与调试要复杂一些。本实验中加入PID控制器后的SIMULINK模型如下：通过不断尝试整定PID参数，得到以下3组比较满意的参数以及相应的波形图。时，阶跃响应波形如下：由上图可以看出超调量为=17.60%，调节时间为=0.8s.时，阶跃响应波形如下：由上图可以看出超调量为=17