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直线与圆综合训练 1．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OPOQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径． 2．已知圆C：，一动直线过与圆相交于、两点，M是PQ的中点，与直线m：相交于N． （1）求证：当与垂直时，必过圆心C； （2）当时，求直线的方程； （3）探索向量与向量，是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由。 3．已知圆C:，直线l：． （1）求证：对直线l与圆C总有两个不同交点； （2）设l与圆C交于不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程； （3）若定点分弦所得向量满足，求此时直线l的方程． 4．圆C的半径为3，圆心在直线上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为． （1）求圆C的方程； （2）是否存在斜率为的直线l，使得以l被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 5．在平面直角坐标系中，圆交轴于点（点在轴的负半轴上），点为圆上一动点，分别交直线于两点． （1）求两点纵坐标的乘积； （2）若点的坐标为，连接交圆于另一点． 试判断点与以为直径的圆的位置关系，并说明理由； 记的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 6．如图，已知定圆，定直线，过的一条动直线与直线相交于， 与圆相交于，两点，是中点． （1）当时，求直线的方程； （2）设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由． ．已知，为圆:与轴的交点（A在B上），过点的直线交圆于两点． （1）若弦的长等于，求直线的方程； （2）若都不与，重合时，是否存在定直线，使得直线与的交点恒在直线上．若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 8．如图，曲线：分别与、轴的正半轴交于点、，点，角、的终边分别与曲线交于点、． （）若与共线，求的值； （）在（）的条件下，若，求在方向上的投影； （）有研究性小组发现:若满足，则是一个定值，你认为呢？若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 1．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OPOQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径． 2．已知圆C：，一动直线过与圆相交于、两点，M是PQ的中点，与直线m：相交于N． （1）求证：当与垂直时，必过圆心C； （2）当时，求直线的方程； （3）探索向量与向量，是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由。 【答案】（1）详见解析（2）或 （3）与倾斜角无关 【解析】 试题分析：（1）当与m垂直时可得到直线斜率，求得直线方程，验证圆心在直线上；（2）直线与圆相交时，求解由圆的半径，圆心到直线的距离，弦长的一半构成的三角形可得到直线的斜率，进而得到方程；（3）将转化为，联立两直线方程求得点坐标，代入向量中化简，在求解过程中需要对直线分斜率存在与不存在两种情况 试题解析：（1）证明：因为与m垂直，且 所以故直线 圆心（0，3）在直线上，即当与m垂直时，必过圆心C （2）解：?当直线与x轴垂直时， 符合题意 ?当直线与x轴不垂直时， 设直线的方程为， 因为，所以， 则由 所以直线： 综上，直线的方程为或 因为， 所以 ?当直线与x轴垂直时， 又 ?当直线的斜率存在时， 设直线的方程为 则由 则 所以 综上，与直线的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且-14分 考点：1．直线方程；2．直线与圆相交的有关弦长问题；3．向量运算；4．分情况讨论 3．已知圆C:，直线l：． （1）求证：对直线l与圆C总有两个不同交点； （2）设l与圆C交于不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程； （3）若定点分弦所得向量满足，求此时直线l的方程． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）或． 【解析】 试题分析：（1）整理直线l方程，分析可知，直线l恒过定点，经检验可知点在圆C内，因此直线l与圆C总有两个交点；（2）由于直线l过定点，根据直线与圆的位置关系可知，定点、圆心、弦中点这三个点构成一个直角三角形，设弦中点坐标为，根据勾股定理，列出关于的方程，即为弦中点的轨迹方程．注意讨论弦中点为定点的情况；（3）设，，把条件用坐标表示，得到关系的等式，联立直线l与圆C的方程，整理得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，得到的等式，与前面的关系式联立，即可求出m的值．从而求出直线l的方程． 试题解析：（1）证明：由直线l：，整理得：，所以对任意，可知直线l恒过定点，而点在圆C：内，所以对直线l与圆C总有两个不同交点； （2）当M不与P重合时，连接CM、CP，则CMMP，设M（x，y） 则化简得： 当M与P重合时，满足上式． 设A（），B（）由得．将直线与圆的方程联立得：