D7-2估计量评选标准.pptVIP

例1： 设总体 例2： 设总体 可见, 那么，究竟哪个无偏估计更好、更合理，这就看哪个估计量的观察值更接近真实值的附近，即估计量的观察值更密集的分布在真实值的附近.我们知道，方差是反映随机变量取值的分散程度.所以同一参数的不同无偏估计以方差较小者为更好、更合理.为此引入了估计量的有效性概念. 第七章 第 三节 估计量的评选标准 二、有效性 三、相合性 一、无偏性 从上一节可知，对于同一参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同，用相同的方法也可能得到不同的估计量，也就是说，同一参数可能具有多种估计量，那么采用哪一个估计量为好呢？通常我们认为哪个估计量的误差小，哪个就优.而这里的待估参数本身是未知的，所以误差多在了是未知的，而所求的估计量与样本有关，即估计量也是随机变量.所以在评价估计量的优劣时，须从估计量的整体性能考虑，主要由以下三个标准来衡量：有无系统偏差；波动性的大小；伴随样本容量的增大是否是越来越精确，这就是估计的无偏性，有效性和相合性. 一、无偏性 则 是一个 而若 其数学期望恰等于的真实值， 设 是未知参数 的估计量, 我们总希望估计值在 的真实值左 定义1: 设 是未知参数 的估计量, 若 存 在, 且对 有 ， 则称 是 的无偏估 称 具有无偏性. 在科学技术中, 称为以 作为 的 这就产生无偏性这个标准. 右徘徊， 的估计值， 对于不同的样本值就会得到不同 随机变量， 估计量， 系统误差. 无偏估计的实际意义就是无 估计的系统误差， 总是 特别，不论 服从什么分布，只要 存在， 存 阶中心矩 的 计. 的无偏估 总是 服从什么分布， 论 证明：不 的一个样本， 是 总体 在， 证明： 与 同分布， 的无偏估计. 且 , 若 均为未知， 则 的估 证明： 若在的两边同乘以 ，则所得到的估计 而 恰恰就是样本方差 . 即： ， 的数学期望和方差 是有偏的. 计量 都存在， 量就是无偏了. 而且 常用 偏的角度考虑， 比 可以作为 的估计， 在实际应用中，无系统偏差只能对整个系统（整个实验）而言.就一次实验来讲，可能偏大也可能偏小，无系统偏差实质上并说明不了什么问题，只是平均来说它没有偏差.所以无偏性只有在大量的重复实验中才能体现出来；而另一方面，我们注意到：往往一个参数的无偏估计有多个，而仅由无偏性无法确定哪个估计量更好. 从无 因此， 估计. 是无偏 的估计量. 作为方差 的估计好. 作为 例3: 设 是总体 的一个样本, 体 的数学期望 , 方差 ， 均值 与 均为 的无偏估计. 为任意常数 . 总 其中 则样本 二、有效性 定义2: 设 与 都是 的无偏估计量, 意的样本 都有 , 例4： 问例3中的 与 哪一个更有效？ 解： （许瓦兹不等式 ， 得 若对任 更有效。 则称 令 ） 更有效。 例5：设 是来自总体 的一个样本， 服从 上的均匀分布, 求 的矩估计量与 解: 即： ， ②极大似然估计: 计量为 下面考虑上例两种估计方法的优劣： 极大似然估计量. 由上一节知其极大似然估 令 ①矩估计: 的分而函数 的密度函数 现在将极大似然估计量进行修正， 则 ， 令 这里的 均为愿未知参数的无偏估计, 我们再来比较它们谁更有效：