02拉普拉斯变换.ppt

例：周期信号的拉氏变换 即： 所以： 例：求下列函数的拉氏反变换 2、 解： 补充：F(s)有共轭极点 若p1和p2是一对共轭复数，系数K1和K2也是共轭复数，只要求出K1和K2中的一个值，另一个值即可容易求得。 例：求 的原函数 解： 方法一： 所以： 得： 方法二： 所以： 例求 解 先将 分解为几个简单的分式之和, 求得: 的原函数 假设F(s)有r个重极点p1，其余极点各不相同。 2、F(s) 有重极点 将（3）关于s求导 例：求下列函数的拉氏反变换 3、 解： 所以： 例 求 的原函数． 【解】即为求 ，先将这个有理分式分解为分项 分式 用拉氏变换求解常系数常微分方程的过程如下： 第一步 对微分方程进行拉氏变换； 第二步 解拉氏变换象函数的代数方程； 第三步 将象函数的代数方程解进行拉氏逆变换，还原为微分方程的解． 2-6 用拉氏变换解常系数常微分方程 原函数 （微分方程的解） 象函数 象函数的 代数方程 微分方程 拉氏反变换 解代数方程 拉氏变换 拉氏变换法求解线性微分方程的过程 实例1： 设系统微分方程为： 若　　　　　，初始条件分别为　　　　　　，试求 解：对微分方程左边进行拉氏变换： 对微分方程右边进行拉氏变换： 所以： 所以： 零状态响应 零输入响应 当初始条件为零时： 练习2 [解二阶常系数线性微分方程] 解 设 , 并对方程两端进行拉氏 用拉氏变换求微分方程 满足初始条件 的解． 变换，则有 将初始条件 代入上式，得 代数方程的解 将上式分解为 再用拉氏逆变换还原为满足初始条件 的微分方程解为 即 7、积分定理 设f(t)的拉氏变换为F(s),则 证明： 其中 时的值。 是 同理可得n阶积分的拉氏变换： 当初始条件为0时，f(t)的各重积分在 时，均为 0，则有： 8、初值定理 设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数f(t)的初值定理表示为： 证明：由微分定理知： 对等式两边取极限： 则有： 例： 9、终值定理 若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，并且除在原点处唯一的极点外，sF(s)在包含jω轴的右半平面内是解析的，则函数f(t)的终值定理表示为： 证明：由微分定理知： 令 ，对上式两边取极限： 又因为： 所以： f(t)稳态值与sF(s)在s=0的初值相同。 当f(t)是周期函数，由于没有终值，该定理不适用。 例：已知 求 解： 10. 的拉氏变换 设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数 的拉氏变换为 证明: 11. 的拉氏变换 设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数 的拉氏变换为 证明: 12、卷积定理 设f(t)的拉氏变换为F(s)，g(t)的拉氏变换为G(s)，则有 式中， 称为f(t)与g(t)的卷积。 即： 卷积性质 证明：当 令： 作业 P26 2-1. （1） （2） （4） 2-2. （1） （2） （3） （4） 2-3 2-4 常用函数的拉氏变换 δ(t) 象函数F(s) 原函数f(t) 解： 已知图示信号,求拉氏变换 解: 解: 求下列函数的初值和终值 答案：因  求卷积 求卷积 答案：因 2-5 拉氏反变换的数学方法 两种方法： 1、拉氏变换表；2、部分分式法 例 求下列象函数 的拉氏逆变换: (2) (3) (1) 解 1、拉氏变换表 例 求 解 逆变换f(t) 例：求下列函数的拉氏反变换 注意到 例:求 解 逆变换f(t) 部分分式法 若f(t)的拉氏变换F(s)可表示为： 若F1(s)， F2(s)，……Fn(s)，的拉氏变换可以求出： n=m，否则应化简为一个s的多项式+余式的形式。 F(s)是复数s的有理代数式，可表示为： 1、F(s)没有重极点 如何确定Ki？ K1 例：求下列函数的拉氏反变换 1、 解： 机械控制工程基础 教学内容 2-1 复数和复变函数 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 2-2 拉氏变换与反变换的定义 2-3典型时间函数的拉氏变换 2-4拉氏变换的性质 2-5拉氏反变换的数学方法 2-6用拉氏反变换解常微分方程 教学重点 典型函数拉氏变换推导 拉氏变换的主要性质 部分分式法求拉氏反变换 教学要求 掌握拉氏变换的定义 掌握几种典型函数的拉氏变换 掌握拉氏变换的主要性质 熟悉应用拉氏变换解线性微分方程的方法 2-1 复数和复变函数 一、复数的概念 二、复数的表示方法 1.点表示法 σ jω σ1 ω1 0 2.向量表示法 σ jω 0 θ1