(第1部分)微分方程(简单模型).pptVIP

微分方程简单模型 重庆邮电大学 数理学院 放射性核废料处理问题 * * 在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去，其影响是广泛的。 当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立对象的动态模型。 例 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ，根据牛顿第二定律可得： 从而得出两阶微分方程： （3.1） 这是理想单摆应满足的运动方程 （3.1）是一个两阶非线性方程，不易求解。当θ很小时，sinθ≈θ，此时，可考察（3.1）的近似线性方程： （3.2） 由此即可得出 （3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt 其中 当 时,θ(t)=0 故有 M Q P mg 图3-1 （3.1）的近似方程 例 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程. 解: 设所求的曲线方程为 由导数的几何意义, 应有 即 又由条件: 曲线过(1,3), 即 于是得 故所求的曲线方程为: 导弹追踪问题 设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰．如果乙舰以最大的速度v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程．乙舰行驶多远时，导弹将它击中？ （解析法） 由(1),(2)消去t, 整理得模型: 马尔萨斯（Malthus）模型 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r基本上是一常数，（r=b-d,b为出生率，d为死亡率），因而提出了著名的人口指数增长模型 。 分析与建模： 人口的净增长率是一个常数，也就是单位时间内人口增长量与当时人口数成正比。 设t时刻人口数为N(t)，t=t0时，N(t0)=N0， 则 这个方程的解为： 马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻 一番所需的时间是固定的。 令种群数量翻一番所需的时间为T，则有： 故 即 Malthus模型 模型检验 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6 （即3.06×109），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。检查1700年至1961的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。 模型预测 假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。 故马尔萨斯模型是不完善的。 几何级数的增长 Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。 所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。 Logistic模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N) 从而有： （1） r(N)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求 。 为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。 r(N)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项） 此时得到微分方程： 或 （2） （2）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。 （2）可改写成： （3） (3)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境