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* * 第二章 平面汇交力学 §2-1 平面汇交力系简化的几何法及平衡的几何条件 §2-2 力在直角坐标轴上的投影，合力投影定理 §2-3 平面汇交力系合成的解析法及平衡的方法 §2-1 平面汇交力系简化的几何法及平衡的几何条件 平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。如图(左)所示的作用在型钢MN 上的力系及图(右)所示的力系。 一、平面汇交力系简化的几何法 1.两个共点力的合成 合力方向由正弦定理： 由余弦定理： 由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。 2. 任意个共点力的合成 为力多边形 FR1 FR2 F1 F2 F3 F4 R F1 F2 F3 F4 R 用几何法求汇交力系合力时，应注意分力首尾相接， 合力是从第一力的箭尾指向最后一力的箭头。 结论： 即： 即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。 30° F2 F1 F3 O [例] 固定在墙内的螺钉上作用有三个力，如图示，大小分别为F1=3kN, F2=4kN, F3=5kN, 求三力的合力. 几何法 F2 F1 F3 FR=8.3kN 30° O 二、平面汇交力系平衡的几何条件 在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件 是： 平面汇交力系平衡的充要条件是： 力多边形自行封闭 或 力系中各力的矢量和等于零 [例] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。 又由几何关系： ①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图 解： ∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时 拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故 由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。 F=11.5kN , NB=23.1kN 所以 几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图； ③作力多边形，选择适当的比例尺； ④求出未知数 几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ②作图要求精度高； ③不能表达各个量之间的函数关系。 下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。 §2-2 力在直角坐标轴上的投影，合力投影定理 一.力在直角坐标轴上的投影 X=Fx=F·cosa Y=Fy=F·sina=F ·cosb 二、合力投影定理 由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为： 合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。 即： 例 求图示作用在O点之共点力系的合力。 FRx=?Fx=-400+250cos45?-200×4/5 =-383.2 N FRy=?Fy=250cos45?-500+200×3/5 =-203.2N 解：取坐标如图。 合力在坐标轴上的投影为： 合力为： =433.7N; ?=arctg(203.2/383.2)=27.9? ?在第三象限，如图所示。 2 2 Ry Rx R F F F + = y x O F2 F3 F4 F1 ? FR 3 5 4 45 F3=500N F4=200N y x O F2=250N F1=400N ? FR §2-3 平面汇交力系简化的解析法 一.平面汇交力系合成的解析法 欲求平面汇交力系的合力，首先选定坐标系0xy,并求出 各力在x、y轴上的投影，然后根据合力投影定理计算合力的 FR的投影FRx和FRy,最后根据下式求出合力的大小和方向。 合力的大小： 为该力系的汇交点 方向： 作用点： 30° F2 F1 F3 O [例] 固定在墙内的螺钉上作用有三个力，如图示，大小分别为F1=3kN, F2=4kN, F3=5kN, 求三力的合力. 二.平面汇交力系的平衡的解析条件 在解析法中平面汇交力系的平衡方程： 合力FR为0，必定有根式中的两项同时为0 即平面汇交力系平衡的充要条件是：力系中各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和为零。 解：①研究AB杆 ②画出受力图 ③列平衡方程 ④解平衡方程 [例] 已知 P=2kN, 求SCD ,RA 由EB=BC=0.4m， 解得： ； ? [例] 已知如图P