行列式1次课.ppt

湖南科技大学 彭叶辉 主讲：彭叶辉 pengyehui@ 湖南科技大学数学与计算科学学院 2010年9月 欢迎来到湖南科技大学 服务 上帝：超市里的服务员 投诉：改善服务态度、服务水平 引 言  线性代数是高等学校理工科等各学科的一门重要基础课程； 线性代数是研究有限维空间线性理论和线性变换的数学分支，通过这些理论把线性代数渗透到数学的许多分支中. 由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决?.于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础. 线性代数在许多科学技术领域中有着广泛的 应用， 如信息技术及计算机技术、 工程数值计算等领域。 线性代数内容包括： n 阶行列式; 矩阵; n 维向量; 线性方程组; 特征值与特征向量; 二次型； 线性空间与线性变换… 教材：《线性代数》，刘金旺主编，天津大学出版社 主要参考书 同济大学版《线性代数》 上海交通大学版《线性代数》 ……. 内容多，时间少；学习要求: 课前预习 课堂认真听讲（不完全按照书本讲） 课后复习，独立作业 课后答疑:八教楼3楼30３ 网上答疑： E-mail：pengyehui@ 作业：每周一之前交到八教三楼 第一章 ?????? n 阶行列式 小结 小结 定义 * 线 性 代 数 §1–2 行列式的定义 §1–3 对换 §1–1 全排列、逆序数 §1–4 行列式的性质 §1–5 行列式的计算 §1–6 克莱姆法则 第一节 全排列及逆序数 先看一个例子。 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解 这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？ 显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法； 十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有2种放法； 而个位只能放最后一个数字，所以只有1种放法。 因此，共有3×2×1=6种放法。 在数学中把考察的对象称为元素，例如上例中的1、2、3。那么对于n个不同的元素,如1，2, …… , n排成一列，共有多少种不同的排法？ 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列。由此引出 定义 1 由1，2, …… , n 组成的一个有序数组称为一个n 级全排列（简称排列）。 n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示，由引例的结果可知P3=3×2×1=6。 由此我们可以得出计算Pn的公式： 从n个元素中任选一个放在第一个位置，有n种取法； 从剩下的n-1个元素中任选一个放在第二个位置上，有n-1种取法；… 最后一个元素放在第n个位置上，有1种取法。 于是 Pn=n · (n-1) · (n-2) … ·3·2·1=n！ n级排列总共有n!个。排列1 2…n称为自然排列.将自然排列规定为标准次序. 其它排列不是自然顺序。于是 定义2 在一个排列中，如果两个数（称为数对）的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序（反序）。一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数。 一个排列j1 j2…jn的逆序数，一般记为 ?(j1 j2…jn) 也可记为 t(j1j2…jn) 排列12的逆序数为0，排列21的逆序数为1， 排列231 的数对21、31均构成逆序，而23不够成 逆序，因此排列231的逆序数为2。 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。 对于一个排列，通过定义可计算它的逆序数，下面给出另外的方法。 计算逆序数的方法： 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，则每个元素的逆序数之总和为所求排列的逆序数. 1) 从左边的第一个元素，从左往右算出每个元素的逆序数，简称“从左向右往前看”。 2) 从右边的第一个元素，从右往左算出每个元素的逆序数，简称“从右向左往前看”。 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 5是最大数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 于是排列32514的逆序数为 例2