相似三角形中的辅助线..doc

相似三角形中的辅助线 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、作平行线 例1. 如图，的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证： 证明：过点C作CG//FD交AB于G 小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。 例2. 如图，△ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。 分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。 方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）。 方法二：如图，过D作DN//EC交BC于N 二、作垂线 3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：。 证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N ∴ ∽ ∴ ∴ （1） 又 ∽ ∴ ∴ （2） （1）+（2） 又 ∴ AN=CM ∴ 三、作延长线 例5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。 分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。 解：延长BA、CD交于点P ∵CH⊥AB，CD平分∠BCD ∴CB=CP，且BH=PH ∵BH=3AH ∴PA：AB=1：2 ∴PA：PB=1：3 ∵AD∥BC ∴△PAD∽△PBC ∴ 例6. 如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FGAB于G，求证：FG=CFBF 解析：欲证式即 由“三点定形”，ΔBFG与ΔCFG会相似吗？显然不可能。（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。 不妨延长GF与AC的延长线交于H 则 ∴ 又ED=EC ∴FG=FH 又易证RtΔCFH∽RtΔGFB ∴ ∴FG·FH=CF·BF ∵FG=FH ∴FG2=CF·BF 四、作中线 例7 如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。 解：取BC的中点M，连AM ∵ AB⊥AC ∴ AM=CM ∴ ∠1=∠C 又 BD=DC ∴ ∴ ∴ ∽ ∴ 又 DC=1 MC=BC ∴ （1） 又 ∽ 又 ∵ EC=1 ∴ （2） 由（1）（2）得， ∴ 小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造与相似是解题关键 综合练习题 1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。 求证：EF×BC=AC×DF 2、中，，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：。 3、. 理由？（用三种解法） 1、证明： 过D作DG∥BC交AB于G，则△DFG和△EFB相似，∴∵BE＝AD,∴　①由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，∴　　∴　②由①②得，∴EF×BC＝AC×DF 2、证明： 过P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，则CEPF为矩形∴ PFEC ∵ ∴ ∽∴ ∵ EC=PF ∴ （1） 在和中：CP⊥MN于Q ∴ 又 ∵ ∴ ∴ ∽ ∴ 即 （2）由（1）（2）得 3、 方法一：如图（1），设BC中点为E，连接AE。 图（1） 方法二：如图（2），在DA上截取DE=DC 图（2）