高等数学课件1-3.ppt

CH1_ 第三节 函数的极限 自变量趋向无穷大时函数的极限 二 自变量趋向有限值时函数的极限 三 函数极限的性质 一 自变量趋向无穷大时函数的极限 二、自变量趋向有限值时函数的极限 三、函数极限的性质 第三节 函数的极限 第一章 函数 极限 连续 通过上面演示实验的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 定义1 设函数 在区间 有定义, 为定常数, 如果对任意给定的正数 (无论它多么小), 总存在正数 使当 时, 恒有 则称 为函数 在 趋向于正无穷大时的极限, 记作 或 时函数极限的几何解释 例1 证明 分析 由于 要使 证 即 不妨设 由于 等价于 因此取 (不妨设 取 当 时, 所以 恒有 例2 证明 证 取 所以 同理可给出 时函数的极限的定义 定义2 设函数 在区间 有定义, 为定常数, 如果对任意给定的正数 (无论它多么小), 当 时, 恒有 总存在正数 使当 时, 恒有 则称 为函数 在 趋向于负无穷大时的极限, 记作 或 定义3 设函数 在区间 有定义, 为定常数, 如果对任意给定的正数 (无论它多么小), 总存在正数 使当 时, 恒有 则称 为函数 在 趋向于无穷大时的极限, 记作 或 例3 证 例4 证明 证 (不妨设 取 所以 同理可证 当 时, 恒有 定理1 函数 在 时以 为极限的 条件是 充要 当 的极限都存在而且 都等于 例5 说明 不存在. 解 由于 所以 不存在. 定义4 使得对适合不等式 的一切 那末常数 就叫函数 在 时的极限, 为常数, (不论它多么 如果对于任意给定的正数 小), 对应的函数值 都满足不等式 在 某个去心领域内有定义, 设函数 总存在正数 记作 几何解释: 注意： 例6 证 例7 证 例8 证 函数在点 处没有定义. 恒有 例9 证明 证 取 当 时， 所以 同理可证 恒有 例10 证 恒有 2 函数的左、右极限 当 时， 当 时， 定义4 使得对适合不等式 的一切 那末常数 就叫函数 在 时的右极限, (不论它多么小), 如果对于任意给定的正数 对应的函数值 都满足不等式 数, 为常 在正数 总存 记作 在区间 有定义, 设函数 定义5 使得对适合不等式 的一切 那末常数 就叫函数 在 时的左极限, (不论它多么小), 如果对于任意给定的正数 对应的函数值 都满足不等式 数, 为常 在正数 总存 记作 在区间 有定义, 设函数 注意到 定理2 函数 在 时以 为极限当且仅 当在 函数 的左、右极限存在并都等于 即 左右极限存在但不相等, 例11 证 例12 设 确定常数 使得 存在. 解 是分段函数 的分段点, 所以 由于 所以 即 3 函数极限的统一定义 见下表 自此以后， 恒有 在自变量的变化过程中存 在一个时刻， 过 程 时 刻 从此时刻以后 过 程 时 刻 从此时刻以后