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* 第二节 初等函数的导数 一、按定义求导数 三、反函数的求导法则 四、复合函数的导数 二、函数四则运算的求导法则 五、隐函数的求导法则 六、对数求导法 七、初等函数的导数 八、高阶导数 一、按定义求导数 1.常数的导数 2.幂函数的导数 所以 3 正弦函数和余弦函数的导数 即 即 同理 4.对数函数的导数 即 特别地, 时 二、函数四则运算的求导法则 证(1) 证(3) 推论 例2-5 已知函数 ,求 例2-6 已知函数 ,求 解 解 解 例2-7 已知函数 ,求 同理可得 即 解 同理可得 即 例2-8 已知函数 ,求 例2-9 已知函数 ,求 解 三、反函数的求导法则 定理2-1 即:反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 于是有 证明 即 例2-10 解 即 特别地,当 时, 解 同理可得 例2-11 即 四、复合函数的导数 定理2-2 即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(锁链法则) 或 证明 则有 推广 则复合函数 的导数为 或 解 解 例2-12 已知函数 ,求 例2-13 已知函数 ,求 例2-14 已知函数 ,求 比较熟练后,中间变量不必写出来,直接按锁链法则对复合函数求导. 解 例2-15 证明幂函数的求导公式 对任意实数指数 成立. 证明 将 化为 ,则 例如, 例2-16 已知函数 ,求 解 为幂指函数, 将其化为 ,则 例2-17 已知函数 ,求 解 例2-18 放射性同位素碘 广泛用来研究甲状腺的功能.现将含量为 的碘 通过静脉推入病人的血液中,血液中 时刻碘的含量为 (其中 为正常数),试求血 液中碘的减少速率 . 解 由上可知 ,这表明碘的减少速率与它当时所 存在的量成正比. 解 例2-19 五、隐函数的求导法则 如果联系两个变量 和 的函数式是由方程 来确定的,这样的函数称为隐函数. 隐函数的显化 例如 (显化) (不能显化) 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 直接从方程 两边来求导,称为隐函数的求导法则. 例2-20 已知函数 是由椭圆方程 所确定 的,求 解 方程两边分别关于 求导,由复合函数求导法则和四则运算法则有 解得 例2-21 已知函数 是由方程 确定的.求 和 解 方程两边分别关于 求导,由复合函数求导法则和四则运算法则有 解得 所以 例2-22 设生物群体总数的生长规律为 其中 均为常数,且 .试求生长率 解 将 写成如下形式 两边对 求导得 整理得 六、对数求导法 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. 适用范围: 解 两边取对数,得 两边对 求导,得 例2-23 已知函数 ,求 * *
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