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函数的三要素.
函数的三要素
一、知识要点
1.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域:
在函数y=f(x),x∈A中,所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A }叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.
(2)函数的三要素:定义域、值域和对应法则.
2.相等函数
如果两个函数的定义域相同,并且对应法则完全一致,则这两个函数为相等函数.
[探究] 2.若两个函数的定义域与值域相同,它们是否是同一个函数?
提示:不一定.如函数y=x与y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不是同一个函数;再如y=sin x与y=cos x,其定义域都为R,值域都为[-1,1],显然不是同一个函数.因为定义域和对应法则完全相同的两个函数的值域也相同,所以定义域和对应法则完全相同的两个函数才是同一个函数.
3.函数的表示方法
表示函数的常用方法有:列表法、解析法和图象法.
4.分段函数
在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式,像这样的函数,通常叫做分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
5.常见基本初等函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x,定义域均为R.
(5)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为(0,+∞).
(6)y=tan x的定义域为.
(7)实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式有意义外,还要考虑实际问题对函数自变量的制约.
6.求函数值域的基本方法
(1)观察法:一些简单函数,通过观察法求值域.
(2)配方法:“二次函数类”用配方法求值域.
(3)换元法:形如y=ax+b±(a,b,c,d均为常数,且a≠0)的函数常用换元法求值域,形如y=ax+的函数用三角函数代换求值域.
(4)分离常数法:形如y=(a≠0)的函数可用此法求值域.
(5)单调性法:函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.
(6)数形结合法:画出函数的图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围.
【例题精讲】
[例1] 有以下判断:
①f(x)=与g(x)=表示同一个函数;
②函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个;
③f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数;
④若f(x)=|x-1|-|x|,则f=0.
其中正确的是________(填序号).
[自主解答] 对于①,函数f(x)=的定义域为{x|x∈R且x≠0},而函数g(x)=的定义域是R,所以二者不是同一函数;
对于②,若x=1不是y=f(x)定义域内的值,则直线x=1与y=f(x)的图象没有交点,若x=1是y=f(x)定义域内的值,由函数的定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个交点,即y=f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点;
对于③,f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同,所以f(x)与g(t)表示同一函数;
对于④,由于f=-=0,所以f=f(0)=1.综上可知,正确的判断是②③.
[答案] ②③
[例2] 已知函数f(x)=则f(2+log23)的值为________.
[自主解答] ∵2+log234,∴f(2+log23)=f(3+log23).∵3+log234,∴f(2+log23)=f(3+log23)=3+log23=×log23=×=.
[答案]
[例3] (1)(2012·山东高考)函数f(x)=+ 的定义域为________.
(2)已知函数f(x2-1)的定义域为[0,3],则函数y=f(x)的定义域为________.
[自主解答] (1)x满足即解得-1x0或0x≤2.
(2)∵0≤x≤3,∴0≤x2≤9,-1≤x2-1≤8.
∴函数y=f(x)的定义域为[-1,8].
[答案] (1)(-1,0)∪(0,2] (2)[-1,8]
【互动探究】
本例(2)改为f(x)的定义域为[0,3],求y=f(x2-1)的定义域.
解:∵y=f(x)的定义域为[0,3],∴0≤x2-1≤3,解得-2≤x≤-1或1≤x≤2,
所以函数定义域为[-2,-1]∪[1,2].
[例4] (1)已知f=x2+,求f(x)的解析式.
(2)已知f=lg x,求f(x)的解析式.
(3)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).
(4)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)
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