刚体的定轴转动..doc

4-1 刚体的定轴转动 一、刚体极其运动 刚体——受力时不改变形状和体积的物体。 注：（1）刚体是固体物件的理想模型。（2）刚体是一个特殊的质点系（各质点间的相对位置在运动中保持不变）。 刚体的运动分为平动和转动。 平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线 。（用质点力学处理） 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 。 二、?? 刚体转动的角速度和角加速度 刚体定轴转动时，由于各质元间的相对位置保持不变，因此描述各质元的角量是一样的。 用角量描写刚体的整体运动。 角坐标： ?角位移： ? ? 角速度： 角速度的方向：右手螺旋法则。 角加速度： ? 定轴转动的特点： （1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； （2）任一质点运动均相同，但 不同； （3）运动描述仅需一个坐标 。 三、匀变速转动公式 匀变速转动------刚体绕定轴转动的角加速度为恒量。 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 ? ? 四 、角量与线量的关系 ? ? ? ? ? 4-2力矩 转动定律 转动惯量 一、 设一质点系由n个质点组成，其中i质点受力为 现对i质点 （内力矩） 二、刚体的转动定律 组成刚体的各质点间无相对位移，所以刚体对给定轴的 即刚体定轴转动的转动定律：绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。 它在定轴转动中的地位相当于牛顿第二定律在质点力学中的地位。 转动惯量的计算 ，将其定义为转动惯量。 转动惯量的计算： 单个质点的转动惯量为 质点系的转动惯量为 质量连续分布的刚体的转动惯量为 转动惯量的单位是千克二次方米（kg · m2） 例： 如图所示，求质量为m，长为z的均匀细棒的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；(2)转轴通过棒一端并与棒垂直 解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直 在棒上任取一质元，其长度为dx距轴0的距离为x，设棒的线密度(即 单位长度上的质量)为， 则该质元的质量 dm = λdx 该质元对中心轴的转动惯量为 整个棒对中心周6的转动惯量为 2）转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的转动惯量为 由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯量不同 例 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和圆盘的转动惯量。 解 (1)求质量为m，半径为R的圆环对中心轴的转动惯量如图所示，在环上任取一质元。其质量为dm,该质元到转轴的距离为R，则该质元对 转轴的转动惯量为 考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为 (2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量。整个圆盘可以 看成许多半径不同的同心圆环构成为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，其面积为 dS=2πrdr， 设圆盘的面密度(单位面积上的质量)， 则小圆环的质量 该小圆环对中心轴的转动惯量为 则整个圆盘对中心轴的转动惯量为 表明，质量相同，转轴位置相同的剐体，由于质量分布不同，转动惯量不同。 刚体转动惯量的特点： (1)与刚体的总质量有关； (2)与刚体质量对轴的分布有关，质量分布离轴越远，转动惯量越大； (3)与轴的位置有关，对质量分布均匀的物体，其对中心轴的转动惯量最小； (4)转动惯量具有可加性。 例 如图所示，质量均为m的两物体A，B。A放在倾角为α的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连定滑轮是半径为R的圆盘，其质量也为m物体运动时，绳与滑轮无相对滑动。 求绳中张力T1和T2及物体的加速度a(轮轴光滑)。 解 物体A，B，定滑轮受力如图， 对于作平动的物体A，B分别由牛顿定律得 又 对定滑轮，由转动定律得 由于绳不可伸长，所以 又 联立以上各式得 例 转动着的飞轮的转动惯量为I，在t=0时角速度为ω此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数为k(k为大于零的常数)，当ω=ω/3时，飞轮的角加速度是多少?从开始制动到现在经历的时间是多少? 解 （1）由题知M = -kω2，故由转动定律有 - kω2 = β 将 代入，求得这时飞轮的角速度为 （2）为求经历的时间t，将转动定律写成微分方程的形式，即 分离变量，并考虑到t=0时，ω = ω0，两边积分 故 当时，制动经历的时间为 ?????? 本节内容分为刚体定轴转动的