《概率论》第一章习题(a)参答案考答案.docVIP

第一章习题（A）参考答案 （注：有些题可能存在多种解法，希望同学能够多动脑思考，不要将思维局限于参考答案。） 4．解：（1）， ； （2） ； （3） 。 5．解：从8个球中任取2个，共有种取法。设事件A表示取到的两个球颜色相同，可分成两种情况：取到白球；取到黑球。 完成事件A共有种取法，则根据古典概型的概率计算公式，可求得 。 6．解：考虑将两组分别记为甲组和乙组，则分配球队的时候，先将10支球队分到甲组，再将剩下的10支球队分到乙组，共有种分法。对于最强的两队，先取一支强队分到甲组，接着再从其余18支稍弱的球队中取9支分到甲组，这样甲组就有一支最强队及9支稍弱的队，最后将剩下的10支球队分到乙组，这样共有种分法。则最强的两队被分到不同组内的概率为。 7．解：将12个球随意放入3个盒子中，对于每个球，都可以从3个盒子中选一个盒子放球进去，因此共有种放法。设事件A表示第一个盒子中有3个球，先从12个球中取出3个球放进第一个盒子，剩下的9个球随意放进其余两个盒子中，对于这9个球，每个都可以从其余两个盒子中选一个盒子放球进去，因此完成事件A共有种方法，则第一个盒子中有3个球的概率为。 8．解：由于每颗骰子有6个不同的点数，因此同时掷4颗均匀骰子共有种不同的结果。 （1）设事件A1表示4颗骰子的点数不同，共有种情形，其发生的概率为 ； （2）设事件A2表示恰有2颗骰子的点数相同。先选出两颗骰子组成一组，其点数是相同的，剩下的两颗骰子点数不同，并且跟前两颗骰子的点数也不同，有种情形，则事件A2发生的概率为 ； （3）设事件A3表示4颗骰子的点数两两相同并且两对的点数不同。先从4颗骰子中取出两颗组成一对，剩下的两颗组成另外一对，接着再分配不同的点数给这两对骰子，考虑到重复性，共有种情形，则事件A3发生的概率为 ； （4）设事件A4表示恰有3颗骰子的点数相同。先选出3颗骰子组成一组，使其点数一样，接着再分配不同的点数给剩下的骰子，这样共有情形，则事件A4发生的概率为 ； （5）设事件A5表示4颗骰子的点数都相同，共有6种情形，则事件A5发生的概率为 。 9．解：将2封信随机投入5个邮筒中，每投一封信时，都可以从5个邮筒中任选一个邮筒投信进去，因此共有种投信方法。 （1）设事件A表示第一个邮筒内恰好有一封信。先选出一封信将其投进第一个邮筒，剩下的那封信随机投进其余的四个邮筒中，因此共有种投法，则事件A发生的概率为； （2）设事件B表示前两个邮筒内没有信。由于前两个邮筒内没有信，因此只能将两封信随机投进后三个邮筒中，这样每投一封信时，只能从后三个邮筒中任选一个邮筒投信，那么共有种投法，则事件B发生的概率为。 10．解：设事件A表示刮风，事件B表示下雨，依题意有 ， ， ； 在刮风的条件下，下雨的概率为 ； 在下雨的条件下，刮风的概率为 。 11．解：由乘法公式，可求得 ， 接着利用加法公式，求得 ， 最后利用课本第四页的对偶律，求得 。 12．解：设事件A表示投入基金，事件B表示购买股票，依题意有 ， ， ； 在已投入基金的条件下，再购买股票的概率为 ； 在已购买股票的条件下，再投入基金的概率为 。 13．解：设事件A1表示取到一等品，事件A2表示取到二等品，事件A3表示取到三等品，那么。如果取到一等品，则肯定不能取到三等品，即 ，因此。已知取到不是三等品的条件下，取到一等品的条件概率为 。 14．解：由条件概率及乘法公式，可求得 ， ， 最后根据加法公式，可求得 。 15．解：设事件A表示报警系统A有效，事件B表示报警系统B有效，依题意可知 ， （1）两种报警系统都有效的概率： ； （2）在报警系统B有效的条件下，报警系统A有效的概率： ； （3）两种报警系统中至少有一种报警系统有效的概率： ； （4）两种报警系统都失灵的概率： 。 16．解：由于事件A与事件B相互独立，根据课本14页的定理2有 令 ，则可得到如下方程组 （1）—（2），可得，即，将其代入方程（1）中，得到以下方程 稍作变形，可得到 ，解得或，再将其代回中，求得或。 因此或。 17．解：设事件A表示该运动员在5次射击中得到不少于48环。该运动员每次射击的结果相互独立，在5次射击中得到不少于48环可分成3种情形：48环、49环、50环。 （1）在5次射击中得到48环，可以再分成两种情形：4次10环1次8环；3次10环2次9环。 在5次射击中得到4次10环1次8环，共有种互斥的情形，每种情形发生的概率都是，因此在5次射击中得到4次10环1次8环的概率为 ； 在5次射击中得到3次10环2次9环，共有种互斥的情形，每种情形发生的概率都是，因此在5次射击中得到3次10环2次9环的概率为 ； （2）在5次射击中得到49环，亦即是4次1