高二数学函数的单调性与函数的偶性测试题奇偶性测试题.docVIP

高二数学函数的单调性与函数的奇偶性苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 函数的单调性与函数的奇偶性 二. 教学目标： （1）理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题。 （2）掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题。 三. 教学重点： 函数单调性的判断和函数单调性的应用。函数奇偶性的定义及应用。 四. 教学难点： 函数单调性与奇偶性的运用。 五. 知识归纳： （一）概念 1. 函数单调性的定义：对于函数的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当时，都有，则说在这个区间上是增函数；⑵若当时，都有，则说在这个区间上是减函数. 2. 函数奇偶性的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 3. 奇偶函数的性质： （1）定义域关于原点对称； （2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称； 4. 为偶函数. 5. 若奇函数的定义域包含，则. （二）主要方法： 1. 讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2. 判断函数的单调性的方法有： （1）用定义； （2）用已知函数的单调性； （3）利用函数的导数. 3. 注意函数单调性的应用； 4. 判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响； 5. 牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性； 6. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，。 7. 设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇. 【典型例题】 例1. 判断下列各函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）. 解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称 ∴为非奇非偶函数。 （2）由得定义域为 ∴ ∵ ∴为偶函数 （3）当时，，则， 当时，，则， 综上所述，对任意的，都有，∴为奇函数. 例2. （1）求函数的单调区间； （2）已知若试确定的单调区间和单调性. 解：（1）单调增区间为：单调减区间为， （2），， 令，得或，令 ，或 ∴单调增区间为；单调减区间为 例3. 已知函数对一切，都有 （1）求证：是奇函数； （2）若，用表示。 解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称。在中， 令，得，令，得 ∴， ∴，即 ∴是奇函数. （2）由，及是奇函数， 得。 例4. （1）已知是上的奇函数，且当时，，则的解析式为。 （2）（《高考计划》考点3“智能训练第4题”）已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则 （ ） . . . . 例5. 设，是上的偶函数。 （1）求的值； （2）证明在上为增函数。 解：（1）依题意，对一切，有 即 ∴对一切成立，则 ∴ ∵，∴。 （2）设，则 ， 由 得， ∴ 即，∴在上为增函数。 例6. 已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时。 （1）求证：是偶函数； （2）在上是增函数； （3）解不等式。 解：（1）令，得 ∴，令，得∴， ∴ ∴是偶函数。 （2）设 则 ∵，∴，∴ 即，∴ ∴在上是增函数。 （3），∴ ∵是偶函数，∴不等式可化为 又∵函数在上是增函数 ∴ 解得：， 即不等式的解集为。 例7. 函数在上是增函数，求的取值范围。 分析：由函数在上是增函数可以得到两个信息： ①对任意的总有； ②当时，恒成立。 解：∵函数在上是增函数 ∴对任意的有 即 得 即 ∵，∴ ， ∵，∴要使恒成立，只要； 又∵函数在上是增函数，∴，