离散数学群与半群离散数学群与群.pptVIP

第11章 半群与群 本章内容 11.1 半群与独异点 11.2 群的定义与性质 11.3 子群 11.4 陪集与拉格朗日定理 11.5 正规子群与商群 11.6 群的同态与同构 11.7 循环群与置换群 本章总结 例题选讲 作业 11.1 半群与独异点 半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统。 半群与独异点的定义，及其子代数的说明。 半群与独异点的幂运算。 半群与独异点的同态映射。 半群与独异点 定义11.1 (1)设V＝S,?是代数系统，?为二元运算，如果运算是可结合的，则称V为半群（semigroup）。 (2)设V＝S,?是半群,若e∈S是关于?运算的单位元,则称V是含幺半群，也叫做独异点（monoid）。 有时也将独异点V记作V＝S，?，e。 半群与独异点的实例 Z+,+，N,+，Z,+，Q,+，R,+都是半群,+是普通加法。这些半群中除Z+,+外都是独异点。 设n是大于1的正整数,Mn(R),+和Mn(R),·都是半群,也都是独异点,其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法。 P(B),?为半群,也是独异点,其中?为集合的对称差运算。 Zn,?为半群,也是独异点,其中Zn＝{0,1,…,n-1},?为模n加法。 半群中元素的幂 由于半群V＝S,?中的运算是可结合的,可以定义元素的幂,对任意x∈S,规定：  x1＝x xn+1＝xn ?x, n∈Z+ ??? 用数学归纳法不难证明x的幂遵从以下运算规则：  xn ? xm＝xn+m  (xn)m＝xnm m,n∈Z+ 普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等都遵从这个幂运算规则。 独异点中的幂 独异点是特殊的半群，可以把半群的幂运算推广到独异点中去。 由于独异点V中含有单位元e，对于任意的x∈S,可以定义x的零次幂,即 x0＝e xn+1＝xn ?x n∈N 半群与独异点的直积 定义11.2 设V1＝S1,?，V2＝S2,*是半群(或独异点), 令S＝S1×S2,定义S上的·运算如下： ?a,b,c,d∈S, ????????? a,b?c,d＝a?c,b*d 称S,?为V1和V2的直积，记作V1×V2。 可以证明V1×V2是半群。 若V1和V2是独异点，其单位元分别为e1和e2，则e1,e2是V1×V2中的单位元，因此V1×V2也是独异点。 半群与独异点的同态映射 定义11.3 (1)设V1＝S1,?,V2＝S2,?是半群,?: S1→S2。 若对任意的x,y∈S1有 ?(x?y)＝?(x)??(y) 则称?为半群V1到V2的同态映射,简称同态(homomorphism)。 (2)设V1＝S1 ,?,e1,V2＝S2 ,?,e2是独异点, ?: S1→S2. 若对任意的x,y∈S1有 ?(x?y)＝?(x)??(y) 且?(e1)＝e2, 则称?为独异点V1到V2的同态映射,简称同态。 两点说明： 为了书写的简便，有时经常省略上述表达式中的算符?和?，而简记为 ?(xy)＝?(x)?(y) 应该记住，该表达式中左边的xy是在V1中的运算，而右边的 ?(x) ?(y)是在V2中的运算。 本节的主要内容 集合S和运算构成半群的条件（封闭性、结合律）。 集合S和运算构成独异点的条件（封闭性、结合律、单位元）。 半群与独异点的两条幂运算规则：xn xm＝xn+m ，(xn)m＝xnm?。 通过笛卡尔积构造直积?。 同态映射的判别：?(xy)＝?(x)?(y) 对于独异点要加上?(e)＝e。 定义11.2说明 任取a,b,c,d,u,v?S (a,b?c,d)?u,v = a?c,b*d?u,v = (a?c)?u,(b*d)*v = a?c?u,b*d*v a,b?(c,d?u,v) = a,b?(c? u,d*v) = a?(c?u),b*(d*v) = a?c?u,b*d*v 11.2 群的定义与性质 群是特殊的半群和独异点。 群论中常用的概念或术语： 有限群、无限群、平凡群、交换群、元素的幂和阶。 群的运算规则。 群的定义 定义11.4 设G,?是代数系统，?为二元运算。如果?运算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中的任何元素x都有x-1∈G,则称G为群（group）。 举例 (1)Z,+,Q,+,R,+都是群,而Z+,+和N,+不是群。 (2)Mn(R),+是群,而Mn(R),·不是群。因为并非所有的n阶实矩阵都有逆阵。 Klein四元群 设G＝{a,b,c,d}，?为G上的二元运算，见下表。 群的直积 设G1,?, G2