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利用微积分证明不等式 余建生 指导教师:吴晓 摘要 对于不等式证明的方法有很多，利用微积分的知识来证明不失为一个简单易 掌握的方法，本文应用微积分的有关概念、定理、典型实例，对不等式证明的微积 分方法进行了探究与归纳。 关键词 不等式；导数；定积分 引言 不等式中蕴藏着丰富的数学思想和方法.例如，数形结合的思想，转化的思想，类比的思想，分类讨论思想，建模的思想.不等式同时也是高中知识的一个重要的章节，高中时就学习了很多基本的不等式证明方法.例如，求导证明，利用简单的微积分证明.不等式的证明在高等数学中占有很重要的地位，是教学的一个重点，也是学习的一个难点，本文应用微积分的有关概念，定理，结合典型实例，对不等式证明的微积分方法进行了探究与归纳. 1.利用微分中值定理（拉格朗日中值定理）证明不等式 定理1 若函数f满足如下条件： （ⅰ）在闭区间上连续， （ⅱ） 在开区间内可导， 则在内至少存在一点，使得 这里没有给出的确切位置，而对于不等式而言，也不必精确.因此可用中值定理证，这时的关键是选择及区间. 例1.1 若，试证. 证 设. 当时，在上满足拉格朗日中值定理, 所以 , 而 , . , 于是. 例1.2 若x0,试证：. 证 设 , 因在上满足拉格朗日中值定理, . 又, . 即. 利用微分中值定理证明不等式时，要抓住定理的核心，在满足定理的两个条件下，主要是利用“存在一点”，即来确定不等式关系，关键是根据对照要证的不等式来确定函数和区间. 2．利用函数的单调性证明不等式 函数的单调性，在微积分中用导数来判定. 定理2 设函数在区间上可导，如果对任意的，恒有(或)则f(x)在内单调增加（或单调减少）. 例2.1 证明不等式，其中. 证 (i)设. 当x0时，. 单调减少. . (ii) 当, . . ，. 例2.2 证明：. 证 设. . （无法判断的符号） . , , , , 即. 利用函数的单调性证明不等式时，首先要根据不等式构造函数，这是解题的关键.此时，只须证明或，而要证明或，首先求，判断还是再使用定理. 3．利用泰勒公式证明不等式 一般涉及到高阶导数时可用泰勒公式（或麦克劳林公式）. 定理3（泰勒定理） 若函数f满足如下条件： (i)在开区间上函数f存在直到n阶导数， (ii) 在闭区间上存在 f的n+1阶导数， 则对任何,至少存在一点，使得 例3.1 若在内，则对任意几个点，试证有不等式. 证 将介在展开,, 有. , （1） 对（1）式中分别取,得到 =1,2,…n. 将上面的n个不等式两边分别相加得 ， 即. 例3.2 设-1,证明（i）在,； (ii)在a0或a1时，. 证 设, . ， 则的麦克劳林展式为 介于0与之间. 即 . （2） （i）时，（2）式第三项非正. . (ii) 在a0或a1时, （2）式第三项非负. 泰勒定理的适用范围是不等式中含有的函数易求出它的泰勒展开式，从而利用它的局部展开式证明不等式. 4．利用函数的凹凸性证明不等式 由定义及判别法有：在某区间上凹（或下凹） ，也即 （或）， 由此可证明一些不等式，特别是含两个或两个以上变元的. 例4.1 已知，且. 试证：. 证 令, ，. . , , . . 例4.2 证明： 证 设 , ，即. 5.利用积分知识证明不等式 性质1 设在区间上都是可积函数，如果在区间上满足，则有. 求证. 证 , . , 根据性质1, . 即. 使用性质1证明不等式时,要将不等式两端的式子表示成同一区间上两个函数的定积分，这时，只须比较这两个函数在区间上的大小，在利用定积分的性质. 性质2 如果在上的最大值和最小值分别为和， 则. 例5.2 已知在内连续，，设在区间内的最大值和最小值分别为,.试证：. 证 当时,由性质2得 . . 又 . . 即. 结语： 高等数学中证明不等式的方法很多，利用微积分证明有时候可以将复杂繁冗的问题变的简单明了.本文针对微积分学中证明不等式的5种方法，进行了初步的思考与探究，并对运用某种方法给出了一定的结论.其实，对于一个不等式来说，可以用多种方法予以证明，对于一个学习数学的人来说，能够找到解决问题的最简单的方法就是好方法，而利用微积分往往能让问题变的简单起来. 参考文献 [1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京