《电磁场理论讲稿》电磁场.docVIP

10-3 证明在自由空间中，磁场满足 证：因为在自由空间中，自由电荷密度和自由电流密度都为零，所以麦克斯韦方程可简化为： 对（2）式取旋度，则， 再代入（1）式，则 ； ； ； 。 10-10证明椭圆极化波可以分解为在同一方向上传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波的迭加。 证明：设椭圆极化波的表达式： 则： 其中，， 即 则： = 其中， 从中可以看出：是一个圆极化波表达式 是通过圆极化波表达式 当考虑到波的传播方向时，可知两个圆极化波中必有一个是左旋圆极化波，而另一个是右旋圆极化波。 10-12 两个线极化波具有相同的频率和传播方向，但极化方向之间的夹角为，且相位差为，求它们的合成波的极化状态。 解：设一个线性极化波的表达式为 则：另一个线性极化波的表达式为： 故 合成波== 由此可知：合成波乃是一个线性极化波。 11-2 已知空气中有一均匀平面波： 若该平面波在处碰到与轴垂直的理想导体平板，求反射波的和。对于，总电场和总磁场值等于什么？求出平面上感应电流的大小和方向。 解： （有一图） 由于理想导体内场量为零，故由处的边界条件可得： ， 其中 且的方向传播。 对于均匀平面波，磁场可直接由 求得，其中为传播方向。 ， 区域中的总磁场和总电场为： 面上的感应电流为： ； ；； ， 11-4 自由空间中的均匀平面波正射到处的一个无限大理想电介质平板上，已知电介质的，且入射波电场为： 式中为一常数。求： 这个波在空气中的波长、频率以及它在电介质中的波长和频率； 复数形式的入射磁场； 求出处的反射系数； 求反射场和透射场； 在两个区域中，求总电场的时域表达式； 求两个区域内平均功率的表达式。 解： 由可知 所以这个波在空气中的波长为 频率为 （弧/秒） 故 介质中的波长和频率为；（弧/米） 介质中的频率等于自由空间的频率 复数形式的入射磁场： 这是一个沿方向传播的均匀平面波，且入射场在真空中传播。 故 （3）处的反射系数和透射系数 由反射系数和透射系数公式可得 ； 反射场和透射场为 ， 其中 所以反射场为 ； 。 透射场为 总场为 部分：部分： 且时域表达式为 平均功率为 区域中： ； 故 ; 故 区域中：； 所以 故 11-10 证明右旋圆极化波垂直入射到有耗损媒质的平面边界上时，其反射波是左旋圆极化的（相对于反射波传播方向）。 证：（有一图） 根据以前的经验，可设： ； 则反射波方程为：；。 则透射波为：； 根据电、磁场切向分量在的边界面上连续，可列出如下方程组： 对分量 ；对分量： 故 ，代入方程则方程成立。 故，前面对入射、反射、透射波的假定是正确的； 故，从和的表达式，即可确定为左旋圆极化波；而为右旋圆极化波。 11－11 频率的均匀平面波由媒质斜入射到自由空间的交界面时，试求： 临界角； 垂直极化平面波以入射时，求折射波的传播方向和它的相速； 圆极化平面波以入射时，反射波的极化状态怎样？与入射角的关系为： 因为 所以， 当入射角等于临界角时，时有, 所以， 故，限界角为； （2）时，即，折射波应正比于： 因为， 所以，（弧/米）， 所以， 可见，波的传播方向为方向，相速为： 如果入射波是极化平面波，且，则有，根据圆极化平面波的概念， 有：， 其中为与入射面垂直的单位矢量，为与入射面平行的单位矢量， 不妨取 当上面的波入射到界面时，因为，所以垂直极化分量波全反射。由于 , 而： ， 故，，， 故， 故 而平行极化分量，由于此时，布鲁特角 而故不会发生全折射，反射系数为： 将代入可得 于是 比较和有： 其间相位差： 由于，故不再是圆极化，而是椭圆极化了。 12-3 在空气中有效长度为的电偶极子，以相同频率用在净水中，设净水无限大，且电导率，估算天线在水中的辐射电阻。 解：依照题意，可知电偶极子的实际长度为：； 电磁波在水中的波长为： 因为 ，故 即在水中仍可视为电欧极子。 因电欧极子在空气中的辐射电阻为： ，其中为自由空间中电磁波的辐射电阻。 在水中，电磁波的辐射电阻为： 即：在水中的辐射电阻是空气中的倍。 将具体值代入。可求得：； 。 12－11 已知一个天线产生的磁场为： ，求它的辐射电场和辐射场的。 解：一天线产生的磁场为