《电磁场理论讲稿》习题2.docVIP

2-1已知三矢量 求： ( ( ( ( ( 解： (1) (2) (3) (4) （5） 2-2对于任意的三个矢量,证明： ( ( 解：对本题可采用两种方法计算：直接计算和适当选取坐标系。使其一轴与一矢量平行的方法，下面我们分别介绍这两个方法。 ⒈直接计算法： ( 左= （后面第四十一页到哪里去了） （接第42页） 2．在不失一般性情况下，对于任意给定的，，，选取坐标系，使X轴与平行，XOY面过,则有 （注意，这里不能说取，，因为这样并不具有一般性） 于是有：( ( 2-3 已知和都是常量。求，使 解：在不失一般性的情况下，可设 其中，，，，，均为常数。 显然，要使能成立，必须，有⊥，此时才能有解。 另外，由矢量的有关知识可知，只要⊥，那么，可以找到任意多的,使⊥，且。更具体的说，可通过调整与矢量之间的夹角，来调整的值。所以，若有解，解也不是唯一的。这表明，使用矢量做除法，是没有意义的。 2-4 已知两个矢量场 求：矢量场 并证明在空间各点， 的场矢量都与的场矢量垂直。 解：依题意 = = 根据矢量垂直的定义，若与垂直必有 故 = 所以，在空间各点，总是与垂直。 2-5 已知，求在柱坐标和球坐标中的表达式。 解：①若位于原点，即如图2-5-1（孟春，补出图）所示，则有 在柱坐标系中 = =3cos+4sin = =5 (图2-5-1) = =0 其中 在球坐标系中： = 其中 其中 ②若位于出,即如图2-5-2所示,由柱坐标与直角坐标间的变换关系 (孟春，补出图) 得: 其中 其中: 均为处的,即: 同理球坐标系中 其中 其中 均为 处的,即 2-6 已知= , , 2, 求：，， 解：，， 分别为在，， 上的投影。 ， ， ，，，的单位矢量为：  2-7 球坐标中点的表示为(,,),已知(5,,),(4,,)。 求：，之间的距离及的单位矢量。 解：为求得两点间的距离，应先将换成直角坐标 ： 同理 ： 两点间的距离为 = 的单位矢量为 = = = 2-8已知标量场 求它的等值面方程并指出等值面的几何形状 求出过点（6，8，5）等值面方程并画出该等值面的图形。 指出标量场的实数定义域 解：（1） 等值面方程为： 令: (c是常数) 即有： 其中 或 可见， 等值面是一族不含顶点（x=0,y=0）的圆锥面。 过(6,3,5)的等值面方程为： 将x=6，y=3，z=5代入等值面方程中，可求得 所以， 等值面方程为 其图形为不含原点的锥面。如图2-2所示。 实数定义域为 ， 或 ： 2-9 已知标量场 画出过点（1，1，1）的等值面 求出这个等值面在该点的发线方向。 求出在该点沿方向的导数 解： （1） 等值面方程为： 为椭圆双曲面。其图形见图2-9。 由梯度性质可知，梯度的方向与等值面垂直 所以 的方向即为法线方向 根据方向导数的计算式，可知 即为在方向的方向导数 广义正交坐标系中证明（2-41）式 解： 设广义坐标系的坐标变量为 坐标单位矢量为 长度系数为 则有： 将上式中U,V对调，则有 2-11 已知，求在（x=1,y=0,z=1）点处的值。指出与z轴的夹角。 解：的梯度为： 在（1，0，1）处， 所以 与 z轴的夹角为： 而 所以夹角为。 2-12 已知平面矢量场， 求沿下列路径由P1(1,2)到P2(2,4)的路径积分值； 由P1到P2的直线， （1，2）（2，2）（2，4）的折线； 解：路径