《电磁场理论讲稿》习题3.docVIP

第三章 习 题 3-1 由（3-1）、（3-2）、（3-5）式导出（3-3）和（3-4）式。 解：（3-1）、（3-2）、（3-5）式分别为： ① ② ⑤ (3-3)式和（3-4）式为： ③ ④ 对②式两端求散：  由矢量公式： 所以 将第二项中关于时间的导数和空间的散度交换顺序 有 由⑤式知 所以 + 即： 所以 其中 C是与时间无关的常数. 因为上式对任意时刻t都应成立，我们可设在初始时刻=0，=0，则有c=0。 于是， 即式 如果对①式两端求散，即有： 由矢量恒等式，有 所以 =0 交换求导顺序，有 其中 C是与时间无关的常数. 因为上式对任意时刻t都应成立，设在初始时刻 。则有C=0 于是有 ，即为④式 3-2 已知导体内的电流与电场之间的关系是。其中为导体的电导率。试由（3-3）式和（3-5）式证明，在=常数的导体内，不可能积累电荷，说明这个证明为什么在导体表面不适用。 解：导体内电流和电场的关系为 （3-3）式为 （3-5）式为 将带入（3-5）式中，有： 因为=常数，所以可提到积分号外，于是有 = 所以有：= 将（3-3）式代入，有 满足上述方程的为 为t=0时的电荷密度 3-3 求下列电场的源分布 ① ② （a为常数） 解：我们知道，电荷是静电场的通量源。由于两个电场均不存在奇异点。故可用电场高斯定律，求得它们的源，即电荷的分布。 ① (C/) ② (C/) 3-4 已知电场分布为 = (V/M) 求：(1) 空间的体电荷分布 (2) (3) 系统的总电荷量 解：这是已知场的分布，求源的分布的问题。 由电场高斯定律，可求得空间的体电荷分布为 ] 则有 (V/M) (V/M) 所以 (C/) ③ 系统的总电荷量 由于现在系统电荷只是分布于球面上的电荷，所以有 将η代入，可得 Q=0 (C) 所以，系统的净电荷量等于0。 3-5 已知空间的磁场分布为 （A/M） 求：空间的电流分布。 解：由修正的安培环路定律： 有： =0 当时， 3-6已知空间磁场分布为： （A/M） 求：空间的电流分布 解：由修正的安培定律知： 3-7 两块无限大的理想导体平板分别放在x=0和x=d，板间电场为 求：①板间体电荷分布 ②理想导体板内电场为0，在两板相对的两个面上的电荷分布是多少 ③画出板间电场分布示意图（场流图） 解：系统示意图如图3-7-1所示。 板内的体电荷分布，可直接由电场高斯定律求得 X d O 图3-7-1 两板间的电场分布示意图如图3-7-2所示。 X 图3-7-2 3-8 上题中，若板间电场为 其中，为常数， 求：①系统的体，面电荷密度； ②求出与给定的相关的磁场； ③系统的体，面电流密度。 解：依题意，系统示意图如图3-8所示，其中，板间电场为： ①系统的体电荷分布，可由电场高斯定律求得 面电荷分布，可有电场边界条件求得 x d y z 图3-8 ②与的相关的磁场，可由法拉第电磁感应定律求得： 所以可求得 其中 于是有 ③系统的体，面电流密度 体电流密度可由修正的安培定律求得。 面电流密度，可由磁场边界条件求得 在导体平板内， 在x=0处， 在x=d处， 3-9 已知空间的电流分布为 试用微分场定律求它产生的磁场分布，并用积分场定律验证。 解：由微分场定律知： 此时，是恒定的，故这是静态