《电磁场理论讲稿》习题5.doc

5-1证明：若是拉普拉斯方程的解，则也是拉普拉斯方程的解。 证明：拉氏方程为： 即 是一个具有多重连续偏导的函数 上式= 同理可证：  5-2 试用上题的结论构造几个能满足拉普拉斯方程的解。 解： 由题5-25知：是拉普拉斯方程的解,则依5-19题的结论 及 均是拉普拉斯方程的解。 又如，由题5-7，可知 由5-21题的结论，有 均是拉普拉斯方程的解。 5-3 用代入法证明：满足拉普拉斯方程。 解： 在球坐标中，拉氏方程为： 当时，代入中 满足拉氏方程。 5-4 已知一个在z方向无限长的系统如图所示。两块半无界导体板在z轴是绝缘的，都是常数,。求：除去之外的空区域的电位分布。 解： 首先我们看一下求解区域。此时因为求除去以外区域中的解，并考虑到，故 可取求解区域为 （取亦可） 在该区域内，因为没有电荷分布，故电位满足拉普拉斯方程。 下面考虑边界条件。依题意，边界条件为: 显然，对于这样的边界条件，我们可以选 为试探解。代入边界条件， 当时， 当时， 将上述两式联立，可求得： 所以本问题的电位解应为 5-5 由图5-7中，若已知： 求槽内的电位分布。 解： 这是一个给定边值的静电场问题。可以看出，整个系统是一个与z无关的二维系统，且在求解区域内，电位满足拉普拉阿斯方程，即 。系统的边界条件，可依题意直接写出： B.C. (1) x=0,, (2) x=a,, (3) y=0,, (4)y=b, , 下面，我们根据边界条件来选取试探解。首先我们看一下x方向上的两个边界条件。由于在x=0和x=a处，出现了两个电位零点。因此，根据直角坐标系中解的物理含义可知，此时应将x方向的解选为正弦形式。而y方向的边界条件表明，在y=0处，有一个电位的零点，故只能选双曲正弦函数。但当我们将解选为级数形式， 即 ： 为了求得系数，我们先要将扩展为以2a为周期的奇函数V(x). 即 y=b时， 由付氏级数的知识可得： 其中有 所以： 或 (V) 5-6 在图5-15中，若已知： （V） （） 求立方体内的电位和电场分布。 解： 在，，的区域中，电位无源，所以满足的方程 在所讨论区域内的边界条件为： 采用直角坐标系中，因为x,y 方向均取正弦形，z方向有一个零点，z方向采用正曲函数形式。 而 ， 其中A为常数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 z=c时， 今天就工作到这里吧，下面工作量好大呀！  5-7 已知一个边长为a的正方体，如图所示。已知 （V） （V） 其余四面上的电位均为0 求：正方体域内的电位和电场的分布。 解： 这也是一个给定边值的静电场问题。我们可以采用迭加原理来求解原系统的解。如图所示，我们可得原系统分解为系统I和系统II两个系统的迭加。因为在求解区域内，没有电荷分布，所以电值满足拉普拉斯方程，，因此我们可以在拉普拉斯方程的解族中选解。下面我们分别对系统I和系统II求解。 系统I:其边界条件为： （1） x=0 , , , （2） x=a , , , （3） y=0 , , , （4） y=a , , , （5） z=0 , , , （6） z=a , , , 根据上述边界条件可选解为 将z=a处的边界条件（6）代入，可解得及 所以系统I的解答为： 同理系统二得边界条件为： （1） x=0 , , , （2） x=a , , , （3） y=0 , , , （4） y=a , , , （5） z=0 , , , （6） z=a , , , 可选解为 将边界条件（4）代入，可得及 所以系统II的解答为： （V） 将系统I和II的解迭加，可得原系统的解 电场分布为： 已知区域V（0xa,0ya,-aza）为空气，在处测得电位分布为 , ,在处侧的电位分布为 ,，其余各面电位为0，求V的电位分布。 z a air O y -a a x 解： 在的