《电磁场理论讲稿》习题8.docVIP

第八章 8-1．三个点电荷在真空中 分别置于（1，0，0），（-1，0，0）和（0，0，1）处， 分别置于（，0，0），（0。0。0）和（0，，0）处，求两种情况下，系统的电场能。 解：根据点电荷系统储存的静电场能公式（8－9），可得 对于第一种情况： = ； = ； = ， = （） 对于第二种情况： = ； = = = ； =。 （J） 在这两种情况下，三个点电荷的相应位置没有变化，所以系统的储能不变，这说明系统的储能只与储能中电荷的相应位置有关。 8－2 一个点电荷放置在真空中，试用（8－22）式计算它的电场能。此结果与第一题有矛盾吗？如何解释？ 解：（8－22）式为 = （） 8－3。两理想导体圆板的半径为a,间距为d,两板间填充介电常数为的均匀、线性电介质材料。设在处均匀分布着恒定的电压源，并保持板间电压为，考虑系统是圆对称性，且忽略边缘效应，求： 板间电场； 板间储存的总电能； 由小题的结果求该系统的电容。 解：依题意，系统示意图如图所示： 依题意可知，板间电场为均匀场。若设处的理想导体板的电位为，处的理想导体板电压为0，则板间电场为： = 由于所填充的介质为均匀、线性，故有： 所以，板间贮存的总电能密度为： = 贮存的总电能为： 系统的电容可由电能求得，即： 所以有： 8－4。一半径为，高度为的理想导体圆柱，加上两个半径为的圆形理想导体板构成五损耗电感。在处，有一恒定电流供给一个总电流，在源和导体柱之间充满均匀、线性磁材料，其磁导率为，假定系统是圆对称的，且忽略边缘效应，求： 板间磁场； 板间储存的总磁能； 由小题的结果求该系统的电感。 解：（有一图形） （1）由安培环路定律可得： 所以 （2）板间磁能密度 故 总磁能： = 由于，故电感量为： 8－5。在两平行理想导电板中间的一半充满电导率为的均匀、线性导体块，如图所示，其余为空气。在处有一个 电压源激励这个系统，保持板间各点的电场为 忽略方向的所有变化及所有边缘效应（对于方向的宽度），求： 板间磁场；矢量及功率损耗密度；矢量的简图；储存的总电能和总磁能，损耗的总功率及电源供给的总功率。 （有一图） 解：（1）忽略方向的变化，及所有的边缘效应，即 依题意，板间有均匀电场，故在导体内，可求得体电流分布： ， 于是，在图示两区域中，磁场满足的旋度方程为： I 域：; II 域： 由对称性不难得到 带入中，得 ，， 因为，故可得 即与无关，故为一均匀场， 将带入中，不难求得： ，， 由于，故， 可见，只是的函数，且 所以， 及均可由边界条件确定。 首先我们求系统内的总电流： 在处， 边界条件为 ，这里 故可求得 在处，由边界条件：，这里 不难得到 ； 由处的边界条件：这里，不难得到， 故 ， 再由时 可得 C=0, 于是，磁场分布为： （2）玻印亭矢量为： 功率上损耗密度： 玻印亭矢量间图为： (4) 因为 故 故总电能 同理，因为 故 所以 + =， 所以，总电能： ；总磁能：； 损耗的总功率： ； 电源供给的总功率为：。 8－6一长为L，内径为a，外径为b的同轴电缆，在它的一个端面接有均匀、线性导电材料的平板（其面电导率为），设该同轴电缆是用理想导电材料制造的，并充以空气，在电缆的另一端接有圆对称的电源，使内、外导体之间的电压为，求： 导体间空气域内的和； 导体间的Poynting矢量； 电源给出的总功率； 负载消耗的总功率； 穿过电缆截面传输的总功率； 导体间储存的总电能和总磁能。 解：（1）空间被分为三个部分，且因三个区域中均无电荷分布，故电位均满足拉普拉斯方程，即： ; ; . 系统的边界条件为：有项限；；；。 （有图形） 根据上述边界条件可看出，系统的电位只与有关，故可选解为：，考虑到边界条件1）和2），有 带入边界条件可解得： 。 所以电位分布为： 电场分布为： 处导体片上的面电流为： 系统中的总电流为： 由积分场定律，不难求得Ⅱ域中的磁场，由对称性知：