为什么叫“基本不等式”.doc

为什么把≥（a，b＞0）叫做“基本不等式” 1．从“数及其运算”的角度看，是两个正数a，b的“平均数”；从定量几何的角度看，ab是长为a、宽为b的矩形面积，就叫做两个非负数a，b的“几何平均”。因此，不等式中涉及的是代数、几何中的“基本量”。 2．有多种等价形式： 代数——涉及两个正数的运算，也就是通过加、减、乘、除、乘方、开方等运算而产生的变化。在对运算结果之间的大小关系比较中就可以得到各种表现形式； 几何——周长相等的矩形中，正方形的面积最大；或者，以a+b为斜边的直角三角形中，等腰直角三角形的高最长；或者，更直观地，等圆中，弦长不大于直径；…… 函数——本质上是函数凹凸性的反映。例如，可以直接通过函数，，等学生最熟悉的函数的凹凸性导出公式；或者，利用函数图像的切线（本质上是“以直代曲”），例如，过点(1,1)作曲线的切线，切线方程为，曲线总位于切线的下方，故有，≤。令，代入化简即得重要不等式。 也可以这样考虑：在一个平面内固定一条直线x+y=2A，考察曲线族xy=c（这里c是参数），画个图就可以看出，和给定直线有公共点，且使c取最大值的曲线，是和直线相切于（A，A）的那条曲线，这时c=A2，于是xy≤。 3．证明方法的多样性 从上所述已经表明，“基本不等式”确是与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系性，表述形式简洁、流畅且好懂，而且从上述联系性中，事实上也已经给出了证明的各种思路，这些思路与数学的基本概念相关，不涉及太多的技巧。 我们还可以从“平均数”的角度来构造性地证明： 设A=。引进一个量d=，则a=A+d，b=A－d。于是 a b =A2－d 2=，由d≥0容易得到≤。 4．可推广。我们大家都知道有n个正数的几何平均值不大于算术平均值的定理。这个定理的证明方法很多，由此就能培养学生的解题能力，而且能体现创造性。 值得注意的是，n个数（不一定为正）的算术平均是一个重要的最小性质，有广泛的用途，特别是在统计中，就是对于某个未知量x，我们通过测量获得了它的n个观测值xi（i=1，2，…，n）。由于测量误差，这些值会略有不同，那么x取什么值才最可信呢？数学王子高斯的想法是：用x－xi表示观测值xi与理想值x之间的偏差（可正可负），可以把那个使总偏差最小的值作为理想值的最佳估计。数学中，习惯上把(x－xi)2作为不精确性的适当的度量，这样问题就转化为求使的最小值。非常凑巧，这个值恰好就是这n个观测值的算术平均——这是重要的高斯“最小二乘法”的出发点。 a2+b2＞2ab。老师提示：当a=b时，有。 动，等号成立的条件。 当 ab为任意实数时，上式还成立吗？你能给出它的证明吗？a2－2ab+b2≥0，得到a2+b2≥2ab。 师：证明：.由证明过程可知：不等式恒成立.通过刚才的探究，我们得到了一个对任意实数都成立的不等式特别是a=b时，；反过来时定有a=b所以我们说当且仅当a=b时等号。 探究新知a＞0b＞0如果用,替换上述结论中的能得到什么结论？得你能证明这个不等式吗？什么时候取等号？要证 ① 只要证 ②要证②,只要证 ③要证③,只要证 ④ 显然, ④是成立的。当且仅当a=b时④中的等号成立 。再阅读课本的“探究”，作出基本不等式的几何解释对基本不等式说明：1）注意基本不等式成立的条件2）注意基本不等式的结构：两个正数之积与两数之和之间的不等关系。 3）注意等号成立的条件 3．知识应用 例1若x＞0，≥2； 若x0，≤－2； 若ab≠0，则≥2； 若ab＝3，则a+b≥2。 （1）生：因为－2=≥0，所以≥2。 （2）生：+2=≥0，所以……？ 师：能写为吗？ 生：哦，不能！应该是 ≥0，所以≤－2。 教师提醒：注意，利用基本不等式，最基本的是要求两个数大于0。本题是经过变形可以利用基本不等式。 （3）当ab＞0时，≥2；当 ab＜0时，≤－2。 教师补充：实际上，概括一下就是前面（1）和（2）。 （4）生：当a＞0，b＞0时，a+b≥2=2；当a＜0，b＜0时，…… 师：怎么还不会？看一下（3）的解答。 生：哦，因为－a－b≥2=2，所以a+b≤－2。 师：通过这几个例题可以知道，在基本不等式中，要求a，b大于0。 例2在下列函数中，最小值是2的是（ ） （A）（x≠0） （B）（1＜x＜10） （C）（x∈R） （D）（0＜x＜） 生1：，因为x2+25＞0，5x既可以大于0，也可以小于0，所以y的值可以小于0。所以选项（A）不对。 生2：因为1＜x＜10，所以lgx＞0。根据基本不等式，≥2=2。所以选项（B）正确。 生3：因为对任意x，3x＞0，所以≥2=2。所以选项（C）正确。 生4：因为0＜x＜，所