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二叉树模型介绍 第十一章 为期权进行估值的一个常用方法是构造二叉树图。这个树图表示了股票价格在期权的有效期内可能遵循的路径。在这里，我们假设股票价格遵循随机游走。每一时间步中，价格上升一定百分比有一定的概率，价格下降一定的百分比也有一定的概率。 11.* 11.* 一个简单的二叉树模型 股票的即期价格为$20 在3个月内股票价格为$22或$18 股票价格= $22 股票价格= $18 股票价格= $20 11.* 股票价格= $22 期权价格= $1 股票价格= $18 期权价格= $0 股票价格= $20 期权价格=? 一个看涨期权 一个有效期3个月的股票看涨期权执行价格为21 11.* 考虑一个证券组合: D 股股票多头 一个看涨期权空头 证券组合是无风险的，当22D – 1 = 18D 或 D = 0.25 22D – 1 18D 构造一个无风险证券组合 11.* 证券组合的价值 无风险证券组合是: 0.25 股股票多头 1 个看涨期权空头 证券组合价值3个月时是 22×0.25 – 1 = 4.50 证券组合的现值是 4.5e – 0.12×0.25 = 4.3670 11.* 期权的估值 证券组合为 0.25 股股票多头 1个看涨期权空头 现值是4.367 股票价值是 5.000 (= 0.25 20 ) 因此期权价值为 0.633 (= 5.000 – 4.367 ) 11.* 一般结论 价值取决于标的股票价值，且有效期为T 的衍生品： S0u ?u S0d ?d S0 ? 11.* 一般结论（续） 考虑包含D股股票多头和1份衍生品空头的证券组合 证券组合是无风险的当 S0uD – ?u = S0dD – ?d S0uD – ?u S0dD – ?d 11.* 一般结论（续） 在T 时刻证券组合价值是S0uD – ?u 证券组合的现值是 (S0uD – ?u)e–rT 证券组合的现值的利益表达方式是 S0D – f 结论为 ? = S0D – (S0uD – ?u )e–rT 11.* 一般结论（续） 将D 带入下式并化简得： ? = [ p?u + (1 – p)?d ]e–rT 其中： 11.* 作为概率的P 可以将p和1-p 作为股票价格上升和下降的概率 衍生品的价值是在风险中性世界以无风险利率贴现值 S0u ?u S0d ?d S0 ? p (1 – p ) 11.* 风险中性估值 当上升和下降的概率是p和1-p 股票价格在 T时刻价值是 S0erT 这说明股票价格获得无风险收益 二叉树模型显示为一般衍生品估值我们可以假设标的资产的期望报酬率为无风险利率且以无风险利率贴现 这是风险中性估值的一般思想 11.* 一个例子 由于我们可以从下式中估计p值 20e0.12×0.25 = 22p + 18(1 – p ) 得p = 0.6523 还可以使用方程得： S0u = 22 ?u = 1 S0d = 18 ?d = 0 S0 ? p (1 – p ) 11.* 使用风险中性为期权估值 期权价值为： e–0.12×0.25 (0.6523×1 + 0.3477×0) = 0.633 S0u = 22 ?u = 1 S0d = 18 ?d = 0 S0 ? 0.6523 0.3477 11.* 两步二叉树模型 每一步的时间为3个月 K=21, r=12% 20 22 18 24.2 19.8 16.2