矢量旋转变换课件.ppt

向量的旋转变换 西南交通大学 基础的2-D绕原点旋转 在2-D的迪卡尔坐标系中，一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出。比如上图所示是位置向量R逆时针旋转角度B前后的情况。在左图中，我们有关系： 　　x0=|R|*cosA 　　y0=|R|*sinA =　cosA=x0/|R| sinA=y0/|R| 下图中，x1=|R|*cos（A+B） y1=|R|*sin（A+B） 其中（x1，y1）就是（x0，y0）旋转角B后得到的点，也就是位置向量R最后指向的点。 x1=|R|*cos（A+B） y1=|R|*sin（A+B） 我们展开cos（A+B）和sin（A+B），得到 　　x1=|R|*（cosAcosB-sinAsinB） 　　y1=|R|*（sinAcosB+cosAsinB） 　　现在把 cosA = x0/|R| sinA = y0/|R| 　　代入上面的式子，得到 　　x1 = |R|*（x0*cosB/|R|-y0*sinB/|R|） 　　y1 = |R|*（y0*cosB/|R|+x0*sinB/|R|） 　　= x1 = x0 * cosB - y0 * sinB 　　 y1 = x0 * sinB + y0 * cosB 现在我要把这个旋转公式写成矩阵的形式即：2-D旋转变换矩阵： 平面旋转矩阵 平移部分 平移不是线性的，不能表示为与2×2矩阵相乘的形式。例如要从点(2, 1)开始，将其旋转 90度，在x方向将其平移3个单位，在y方向将其平移4个单位。可通过先使用矩阵乘法再使用矩阵加法来完成此操作。 补充部分 平移部分 平移不是线性的，不能表示为与2×2矩阵相乘的形式。例如要从点(2, 1)开始，将其旋转 90度，在x方向将其平移3个单位，在y方向将其平移4个单位。可通过先使用矩阵乘法再使用矩阵加法来完成此操作。 后面跟一平移（与 1×2 矩阵相加）的线性变换（与 2×2 矩阵相乘）称为仿射变换。放射变换（先乘后加）可以通过乘以一个3*3的矩阵来实现，若要使其起作用，平面上的点必须存储于具有虚拟第三坐标的 1×3 矩阵中。通常的方法是使所有的第三坐标等于 1。例如，矩阵 [2 1 1] 代表点 (2, 1)。例如与单个 3×3 矩阵相乘的仿射变换（旋转 90 度；在 x 方向上平移 3 个单位，在 y 方向上平移 4 个单位）： 在前面的示例中，点(2,1)映射到了点(2, 6)。其中3×3 矩阵的第三列包含数字0，0，1。对于仿射变换的3×3 矩阵都是这样的。重要的数字是列 1 和列 2 中的 6 个数字。矩阵左上角的 2×2 部分表示变换的线性部分，第 3 行中的前两项表示平移。 在使用3*3的矩阵做仿射变换时候，表示点的矩阵变成了一个1*3矩阵，这个矩阵中的最后一个值必须设置成1。对于3*3矩阵，其最后一列的值是多少是没有关系的，因为他们不会影响结果中的前两列。不过如上，经常将他们设置为0，0，1。这一列对于坐标转换的结果并没有任何影响，但是他们是必须的，因为矩阵相乘必须满足 “相乘的两个矩阵第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相同”。 平面或空间里的每个线性变换（这里就是旋转变换）都对应一个矩阵，叫做变换矩阵。对一个点实施线性变换就是通过乘上该线性变换的矩阵完成的。 把顶点和矩阵相乘，就会发现矩阵的某些项，扮演着为顶点变换（平移、旋转、缩放）提供参数的作用。（前人总结出来，填哪些那些项能得到平移矩阵/缩放矩阵/旋转矩阵）比如平移矩阵，你自己拿一个顶点和它相乘，算一遍，就会发现它化简到最后一步时的算式，和顶点平移算式是一样的。旋转、缩放也是如此。 那么为什么还要和矩阵相乘？直接用平移算式、旋转算式、缩放算式不就行了？ 不行 因为靠矩阵来计算可以减少计算量。 一个顶点要进行多次变换，比如平移后旋转再平移之后再缩放，用简单算式得算4遍，矩阵只要算一遍。 原理就是公式：（顶点×矩阵A）×矩阵B = 顶点×（矩阵A×矩阵B），即矩阵接合律的推广。（矩阵一般不遵守分配律，所以顶点变换有先后顺序，一个顶点平移再旋转，和旋转再平移，得到的位置不同）即：很容易地进行组合变换以及逆变换。 机器人中可能很多关节都进行同一套变换。用简单算式，n个变换对m个顶点，就得算n×m遍。把n个变换做成矩阵，用矩阵乘法接合到一起，那最后m个顶点，每个只要同矩阵做一次乘运算，就可以得到变换后的位置。计算量大大降低 * * ∴ θi P1 B1 θ1 0 x y Pi Bi *