切比雪夫插值节点课件.ppt

* 切比雪夫插值节点 带导数条件的插值函数 分段插值函数 二元函数插值简介 《数值分析》 15 取插值结点: a≤x0＜x1＜······＜xn≤b 满足Ln(xk)=f(xk)的 n 次多项式插值余项 其中, 选取: x0, x1 ,······, xn , 使 结论: 切比雪夫多项式Tn+1(x)的全部零点。 拉格朗日插值余项 2/18 n+1阶切比雪夫多项式: Tn+1=cos(n+1)? cos? = x 代入得 Tn+1( x ) = cos((n+1) arccos x ) 即 ( k=0,1,···,n ) 取 f(x)∈C[–1, 1], 令 x = cos? , 则有 [–1, 1] ?? [0, ? ] 将g(? ) = f(cos? )展开成余弦级数 ——切比雪夫结点 3/18 例1. 函数 取等距插值结点: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 x∈[-5, 5] ?11(x)=(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) ?11(x) ? 4/18 -4.9491 -4.5482 -3.7787 -2.7032 -1.4087 0.0000 1.4087 2.7032 3.7787 4.5482 4.9491 在[-5, 5]区间上,取11个切比雪夫结点 ( k=10, 9, 8, ···, 1, 0 ) ?11(x)=(x – x0)(x – x1)(x – x2)······(x – x10) 5/18 ?11(x) ? 插值函数L10(x)取 切比雪夫结点插值 插值函数L10(x)取 等距结点插值 6/18 已知节点x0和x1处的函数值及导数值 求三次插值函数 H(x)= a0 + a1x + a2x2 + a3x3 满足插值条件 (j = 0,1) 三次Hermite插值问题 m1 m0 H’(x) y1 y0 H(x) x1 x0 x 7/18 例2. 已知插值条件: 求3次插值函数. 解:设 得 a0=0, a1=0, 列出方程组 求解, 得 a2 = 3 , a3 = – 2 所以,有 H(x) = 3x2– 2x3 = (3 – 2x)x2 x 0 1 H(x) 0 1 H’(x) 0 0 8/18 利用基函数表示Hermite插值 x0 x1 1 0 0 0 0 1 0 0 x x0 x1 0 0 1 0 0 0 0 1 x 9/18 两点Hermite插值的误差估计式 证明: 由插值条件知 R(x0)=R’(x0)=0, R(x1)=R’(x1)=0 构造辅助函数 利用 f(x) – H(x)=C(x)(x – x0)2(x – x1)2 取 x 异于 x0 和 x1, 设 10/18 反复应用Roll定理,得F(4)(t)有一个零点设为ξ ? ? 显然,F(t)有三个零点x0, x, x1,由Roll定理知,存在F’(t)的两个零点t0,t1满足x0t0t1x1,而x0和x1也是F’(x)的零点,故F’(x)有四个相异零点. 11/18 分段线性插值 插值节点满足: x0x1······xn 已知 yj=f (xj) ( j= 0,1,2,···,n) ·········· ( j= 0,1,···,n-1) x∈[xj，xj+1]时, 线性插值函数 12/18 分段三次Hermite插值 取 a≤x0x1······xn≤b,已知函数值和导数值 yj=f (xj), mj = f ’(xj) ( j= 0,1,2,···,n) 当 x∈[xj，xj+1]时, 两点Hermite插值 ( j= 0,1,2,···,n-1) 15/18 矩形区域上函数f(x, y)的双线性插值 x1 x2 y2 y1 插值条件: P(x1, y1) = z1, P(x2, y1) = z2, P(x2, y2) = z3, P(x1, y2) = z4 P(x, y) = ax + by