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已知△ABC内接于⊙O,直线EF过点A (1)如图1,AB为直径,要使得EF是⊙O的切线,还需添加的条件是 或 。 (2)如图2, AB为非直径弦,且∠CAE=∠B,求证:EF为⊙O的切线。 已知O为∠BAC平分线上一点,OD⊥AB于D,以O为圆心,OD为半径作圆O,求证:⊙O与AC相切 思考? 改变切线判定定理的题设与结论 如果直线l是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢? * * 问题1:下图中的直线l和⊙O是什么 关系? 相交 相离 相切 (两个交点) (一个交点) (零个交点) d = r 相切 d ∟ 问题2:如图,已知点A是⊙O上一点, 过A作OA的垂线l,这样的直线有几 条? 直线l与⊙O的位置关系怎样? 为什么? l A O d r 特征一:直线l经过半径OA 的外端点A 特征二:直线l垂直于半径OA d = r 相切 切线的判定定理:经过半径外端 并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线。 l A O O l A O l A O l A O 判断下图直线l是否是⊙O的切线? 并说明为什么。 证明一条直线为圆的切线时,必须两个条件缺一不可:①过半径外端 ②垂直于这条半径。 已知:直线AB经过⊙O上的 点C,并且OA=OB,CA=CB. 求证:直线AB是⊙O的切线。 O A B C 分析: 欲证AB是⊙O的切线,由于AB过圆上点C,若连结OC,则AB过半径OC的外端,只需证明OC⊥AB . 例1、已知:直线AB经过⊙O上的 点C,并且OA=OB,CA=CB. 求证:直线AB是⊙O的切线。 O A B C 证明:如图,连结OC. ∵ OA=OB,CA=CB ∴ OC是等腰△OAB 底边BC上的中线 ∴ OC⊥AB 又AB过半径OC的外端 ∴ AB是⊙O的切线 F E C B A O C B E F A O 一般情况下,要证明一条直线为圆的切线,它过半径外端(即一点已在圆上)是已知给出时,只需证明直线垂直于这条半径。 练习1: AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上 BD=OB,点C在圆上,∠CAB=30°。 求证:DC是⊙O的切线。 C D B A O 练习2: 证明直线与圆相切,但无切点时,往往过圆心作切线的垂线,再证明d=r即可 D C A B O ∟ 切线的判定方法有: ③、切线的判定定理。 ②、直线到圆心的距离等于圆的半径。 ①、直线与圆有一个公共点。 切线的判定定理:经过半径外端 并且垂直于这条半径的直线是圆 的切线。 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径。 O M A T 过O作OM⊥AT,垂 足为M.根据”垂线段最短”的性质,有OM<OA,这就是说圆心O到直线AT的距离小于半径,于是AT就要与⊙O相交,这与AT是⊙O的切线相矛盾. 用反正法证明: 假设AT与OA不垂直 推论1、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 例题:如图AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足是D . 求证:AC平分∠DAB D A B O C
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