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例2、如图,四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P, 求证: AD+BC=AB+CD * * * * * * 新课学习 . O A L 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径 几何应用: ∵L是⊙O的切线 , ∴OA⊥L A . O L 经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线. 几何应用: 2.与半径垂直. 1.经过半径的外端; OA是⊙O的半径 OA⊥l于A l是⊙O的切线. 切线的判定定理: C A B D 练习1:已知:AB是弦,AD是切线,判断∠DAC与圆周∠ABC之间的关系并证明. E 弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角。 判别下列图形中的角是不是弦切角,并说明理由。 图1 图3 图2 图4 弦切角性质: 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 C A B D E 尺规作图: 过⊙O外一点作⊙O的切线 O · P A B O 步骤? 在经过圆外一点的切线上,这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 · O P A B 切线与切线长是一回事吗? · · 切线:直线。切线长:线段。 比一比 B O A B P 思考:已知⊙O切线PA、PB,A、B为切点,把圆沿着直线OP对折,你能发现什么? 1 2 请证明你所发现的结论。 A P O B PA = PB ∠OPA=∠OPB 证明:∵PA,PB与⊙O相切,点A,B是切点 ∴OA⊥PA,OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB,OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 试用文字语言叙述你所发现的结论 证一证 PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 几何语言: 反思:切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 O P A B 切线长定理 A P O B 若连结两切点A、B,AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB 证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形,PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB M 试一试 A P O 。 B 若延长PO交⊙O于点C,连结CA、CB,你又能得出什么新的结论?并给出证明. CA=CB 证明:∵PA,PB是⊙O的切线,点A,B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC C 探究:PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,直线OP交于⊙O于点D、E,交AB于C。 B A P O C E D (1)写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA,OB ⊥PB,AB ⊥OP (3)写出图中所有相等的线段 (2)写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE 已知:如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别是A、B,Q为AB上一点,过Q点作⊙O的切线,交PA、PB于E、F点,已知PA=12CM,求△PEF的周长。 E A Q P F B O 易证EQ=EA, FQ=FB, PA=PB ∴ PE+EQ=PA=12cm PF+FQ=PB=PA=12cm ∴周长为24cm 例题1 变式:如图所示PA、PB分别切 圆O于A、B,并与圆O的切线分别相交于 C、D,已知PA=7cm, (1)求△PCD的周长. (2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数 C · O P B D A E D L M N A B C O P 证明:由切线长定理得 ∴AL=AP,LB=MB,NC=MC, DN=DP ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即 AB+CD=AD+BC 补充:圆的外切四边形的两组对边的和相等. 例题2
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