球坐标柱坐标课件.ppt

二、矢量代数 4、矢量代数公式 1.3 矢量微分算子 【例题1.3.1】 求矢量场 沿xy平面内一闭合回路C的线积分，此闭合回路由（0，0）和（ ）之间的一段抛物线 和两段平行于坐标轴的直线段组成。再计算 的旋度。 【例题1.3.2】 求二维标量场 的梯度，并取一闭合回路C，证明 证明： 【例题1.3.4】 证明一个标量场的梯度必无旋，一个矢量场的旋度必无散。 1.4 矢量积分定理 【例题1.4.1】 矢量场 中有一半球面 计算斯托克斯定理中两边的积分值。 三、 平面格林定理 四、标量格林定理 证明：第一定理 证明：第二定理 证明(1) 证明(2) 证明(3) （1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在 别的特性？ （2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它 矢量场的激励源？ （3）如何唯一的确定一个矢量场？ 八、矢量场的Helmholtz定理 1 、定理内容： 空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即： 其中 为无散场， 为无旋场。 Helmholtz定理明确回答了上述三个问题。即 任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无 散场，由旋涡源激发；并且满足： 另一部分是无旋场，由通量源激发，满足： 二、含有 算子算式 证明： 三、二重算子 四、包含 算子的恒等式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15） 一、 高斯散度定理 证明： 从散度定义，可以得到： 则在一定体积V内的总的通量为： 式中：S为包围?V的闭合面 式中：S为包围体积V的闭合面 得证！ 证明 由旋度的定义 对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有 证明： ＝ 得证！ 意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。 二、斯托克斯定理 (1) (2) 格林第一定理 格林第二定理 令： 代入式（1）后求得 又有 代回前一式得 令式（1）中的 换位置，得 将上式与（1）式相减，求得 得证 六 并矢格林定理 五 矢量格林定理 七 其他积分定理 在高斯散度定理中令 C 是常矢量 将以上二式代回高斯定理，得 C 提出积分号外，得 C 是非零常矢量，可约去，得证 在高斯散度定理中令 C 是常矢量 将以上二式代回式高斯定理，得 C 提出积分号外得 C 是非零常矢量，可约去，得证 。 现在我们考虑如下问题 * * *第一章 矢量分析 * 第一章 矢量分析 简要介绍矢量分析和场论基础。 散度、旋度和梯度的基本概念； 算符运算公式； 散度、旋度和梯度在曲线正交坐标系中的表示 讨论了矢量场的基本构成及其与源的关系。 1.1 矢量代数运算 1.2 场论- 梯度、散度和旋度 1.3 矢量微分算子 1.4 矢量积分定理 1.5* 并矢及其运算规则 1.6* 正交曲线坐标系 主要内容 一、矢量与矢量场 1、矢量及表示 2、标量场与矢量场 矢量场 空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等. 1.1 矢量代数运算 标量场 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。如温度场,电位场,高度场等 2.点乘（标量积、投影积）-- 对应分量相乘的和 3. 叉乘（矢量积）－行列式展开 1、矢量和 （1） （2） （3） （4） 1、直角坐标系（x,y,z） 方向单位矢量： 矢量表示： 位置矢量： 三、常用坐标系 方向单位矢量： 矢量表示： 位置矢量： 2、圆柱坐标系 ( ) 方向单位矢量： 矢量表示： 位置矢量： 3、球面坐标系 ( ) 圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系 球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系 4、坐标变换 一、 标量场的梯度 1. 等值面（线） 由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量函数为 ，则等值面方程为： 1.2 场论——梯度、散度和