曲率及其曲率半径的计算课件.ppt

一、弧微分 二、曲率及其计算公式 例1 计算等双曲线x y ?1在点(1，1)处的曲率． 例2 抛物线y?ax2?bx?c 上哪一点处的曲率最大？ 三、曲率圆与曲率半径 例3 设工件表面的截线为抛物线y?0．4x 2．现在要用砂轮磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？ * 曲率及其曲率半径的计算 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 有向弧段的值、 弧微分公式 曲率、 曲率的计算公式 曲率圆曲率半径 s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的 正向一致时s0，相反时s0． 有向弧段 的值 s(简称为弧s) ： M M0 ( x y O M0 x0 M x s0 x y O M0 x0 M x s0 显然，弧 s 是 x 的函数：s?s(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数． 设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 y?f(x)上的对应点为M，M?，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是 下面来求s(x)的导数及微分． M0 M M ? x0 x x+Dx Dx Dy x y O Ds ?1， 因为 因此 由于s?s(x)是单调增加函数，从而 于是 ds ? 这就是弧微分公式． ) j M1 M2 N1 N2 观察曲线的弯曲线程度与切线的关系： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度， M0 M M ? Ds Da x y O a+Da ) a ) s C 设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M ?的弧 为Ds ，切线的转角为Da ． 平均曲率： 曲率： 曲率的计算公式： 设曲线的直角坐标方程是y?f(x)，且f(x)具有二阶导数． 于是 从而，有 因为tan a ?y ? ，所以 解 因此，y?|x?1??1，y??|x?1?2． 曲线x y ?1在点(1，1)处的曲率为 解 由y?ax2?bx?c，得 y??2ax?b ，y???2a ， 代入曲率公式，得 要使K 最大，只须2ax?b?0， 抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K?|2a| ． 对应的点为 2．若曲线由参数方程 给出，那么曲率如何计算？ 1．直线上任一点的曲率等于什么？ 讨论： 提示：设直线方程为y=ax+b，则y? =a， y?? = 0．于是 提示： ． 曲线在点M处的曲率K(K ?0)与曲线在点M处的曲率半径 r 有如下关系： 曲线在M点的曲率中心 M y=f(x) x y O D r 曲线在M点的曲率半径 曲线在M点的曲率圆 4 2 O 2 x y y=0．4 x2