第6章 非正弦周期电流电路1.doc

第6章 非正弦周期电流电路 【导言】先后研究了线性直流电路和正弦电流电路的分析方法。在电气、电子及通讯等工程领域还广泛存在非正弦周期电流电路，其中的电流和电压是时间的非正弦周期函数。存在这类电路的原因一方面是人为设计，另一方面是不可避免。随着科技的发展，这类电路愈加普遍。本章介绍应用傅里叶级数和叠加定理分析非正弦周期电流电路的方法，讨论非正弦周期电流、电压有效值和平均功率的计算，简要介绍非正弦周期信号频谱的概念和对称三相电路中的谐波。 6.1 非正弦周期电流和电压 非正弦电流电路是普遍存在的。首先，当一个电路中有直流电源和正弦电源同时作用时，在一般情况下，电路中的电流既不是直流，也不是正弦电流，而是非正弦周期电流。如果这类电路是线性的，便可根据叠加定理分别计算由直流电源和正弦电源单独作用所引起的响应，然后再把这些响应的瞬时表达式相加，得到由直流和正弦量合成的非正弦周期电流或电压。当一个电路中有几个不同频率的正弦电源同时作用时也是这种情形，在6.4节将详细介绍其分析方法。 其次，在某些电路中电源电压或电流本身就是非正弦周期函数。例如由方波或锯齿波电压源(图6.1)作用而引起的响应一般也是非正弦周期函数。为了求出这种响应，可根据傅里叶级数理论，将给定的非正弦周期电源电压或电流分解为傅里叶级数，其中包含恒定分量和一系列不同频率的正弦分量，相当于有直流电源和多个不同频率的正弦电源同时作用于电路。这便和上述第一种情况一样，可根据线性电路的叠加定理计算电路的响应。 图6.1 方波和锯齿波电压 再次，如果电路中含有非线性元件，即使激励是正弦波，其响应一般也是非正弦周期函数。例如在图6.2(a)所示电路中，其输入电压是正弦波，如图(b)所示，由于半导体二极管具有单向导电的特性，其输出电压则成为具有单一极性的非正弦周期电压，如图(c)所示。这种将交流电压变换为具有单一方向电压的过程称为整流(rectification)，电压称为半波整流电压。最后还应指出，第2章和第4章所研究的直流电路和正弦电流电路指的都是电路模型，其中的直流电源和正弦电源都是理想的电路元件。而工程中应用的某些直流电源和正弦电源，严格地说，是近似的直流电源和正弦电源。例如通过整流而获得的直流电压，尽管采取某些措施使其波形平直，但仍不可避免地存在一些周期性的起伏，即所谓纹波(ripple)。又如电力系统中由发电机提供的电压也难以做到理想的正弦波，而存在一定的畸变(distortion)，严格地说应是非正弦周期电压。因此在研究实际电路问题时，尽管电源是所谓直流的或正弦的，如必须考虑其纹波或畸变的影响，则也应建立非正弦周期电流电路模型，从而作为非正弦周期电流电路来分析。 图6.2 半波整流电路及电压波形(a)电路；(b)输入电压；(c)输出电压 6.2 周期函数的傅里叶级数 工程上遇到的周期函数总可以分解为如下的傅里叶级数(Fourier series)①： (6.1) 式中，是的周期。、和称为傅里叶系数。其中就是函数在一个周期内的平均值： (6.2) 为了求得，以乘式(6.1)各项，并在一个周期内积分，即 (6.3) 根据数学上三角函数系的正交性可知，式(6.3)等号右端第一项和第三项积分为零，第二项中除以外各项的积分也为零，因此可将改为，得到 即 (6.4) 用类似方法可得 (6.5) 由式(6.2)、(6.4)和(6.5)分别求得、和，再将它们代入式(6.1)即得到周期函数的傅里叶展开式。在数学分析中傅里叶级数通常用式(6.1)表示。下面利用三角函数关系把它改写成在电工中更为适用的形式，即 (6.6) 式中和可由下式求得 (6.7a) (6.7b) 从波形的观点，傅里叶级数中第一项是常量，称为恒定分量或直流分量(dc component)。第二项是正弦波，其频率与周期函数的频率相同，称为基波(fundamental wave)或一次谐波(harmonic)，和分别为基波的振幅和初相。第三项的频率为基波频率的二倍，称为二次谐波(second harmonic)。依此类推，有三次谐波、四次谐波等等。由于傅里叶级数是收敛的，一般来说其谐波次数越高，振幅越小。 谐波振幅随角频率变动的情形可用图形形象地表示，例如图6.3，称为非正弦波的振幅频谱(amplitude spectrum)。图中竖线长度表示的量值，称为谱线。相邻两谱线的间隔等于基波角频率