群论-第三章 连续转动群 2011.12.7课件.ppt

第三章 连续转动群 第一节 基本概念和定理 对称操作： 使物质体系所占空间位置不变的空间变换。 对称操作需满足两个基本条件： ① 任意两点间距离不变； ② 任意两向量间夹角不变。 对称操作群： 对于一个物质体系，由该体系的所有对称操作构成的集合。 * 对称操作类型： ①旋转(rotation)：绕固定轴（有向线段）转某个角 度(0 ～2??)。 * ②镜面反射(也叫反映) (mirror reflection)：镜面记作σ ，以 为法向量的平面，记作 。 ， 分别为垂直和通过主轴的镜面. ③平移(translation)：空间中所有点沿相同方向移动相同距离的操作，用向量 表示（其指向表方向，长度 表距离）。 ④反演(inversion)： 。反演与镜面反射两者相互关联，其中只有一个是基本的。 （反演 = 绕含反演中心的轴旋 180°后做垂直转轴的平面的镜面反射，即 ） ? 空间操作(space operation)：由平移实现，空间所有点都发生变动。 ? 点操作(point operation)：空间中至少有一点不变的对称操作，称为点对称操作，简称点操作。包括旋转和镜面反射。 例：1. C3v群是点操作 ? 有旋转对称轴 ? 旋转任意角度不变，有无限 多个操作。 ? 绕轴旋转角度 ??： * 2. 花瓶 ∴ 构成Abel群，称为R(2)群或 SO(2) 群。 （二维旋转对称操作构成的二维旋转群） 3. 圆球 绕过球心的任意转轴旋转任意角度均是对称操作，构成 R(3)群或 SO(3)群。 (三维旋转群) 过球心平面的镜面反射也是对称操作，与R(3)群操作联合构成O(3)群。(全正交群) * 点操作的特点： 设不动的点为坐标原点，则点操作不改变任意两矢量 ， 间的相对位置（数学上称保长、保角变换）。 点操作在三维空间中对应一个算符A： ； 内积： 满足此关系的变换满足保长、保角变换。 * O α α 由 要求 即变换算符A 是幺正的。 三维实空间中，变换A不会将实矢量变成复矢量， ∴ A是实变换，结合幺正性，表明A是正交算符， 对应矩阵为正交矩阵： 。 由正交变换构成的群称为O群（全正交群）。 三维实空间： O(3)群 SO(3)群是Special orthogonal group. O(3) = SO(3) ? Ci , Ci = { e, I } * 旋转、反射在实空间中对应着正交算符 ： ， ， （正交矩阵的性质） * 用反证法： 假设对某一 φ 值， 则在 0 ~ φ 之间必有某φm值，其 违反 ， * 引理1 三维空间中，纯旋转操作对应的正交矩阵 的行列式等于1。 证明： ， φ连续变化，A的矩阵元和行列式也应连续变化。 ， z O * Cz(φ) 1 –1 0 ??(φ) ， 由引理1， ∴ ◆含奇数个反演或镜面反射的操作对应的行列式为 –1。 正当操作： ； 非正当操作： 。 * 反演： 可视为三元一次线性方程组的久期行列式： * 引理2 的正交矩阵A对应一个定轴转动。 证明： ∴ 可见 是 A旋转操作的定轴。 * 由于 ，该齐次线性方程组必有非零解。 设 ， ， 构成非零解，定义 Cz(φ)：φ是表征群元的一个连续参数。 与 类似，有 ， = ？ ρ(φ) 为φ~ φ+Δφ范围内的群元密度。 * 第二节 定轴转动群SO(2