热传导方程2课件.ppt

*/16 分离变量法I 热传导定律和热传导方程 分离变量法导出的常微分方程 固有值与固有函数 边值问题分类 ? ? ? ? 夏日消溶,江河横溢,人或为鱼鳖。 ············· 傅里叶1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程。 1822年出版专著《热的解析理论》,将三角级数方法发展成内容丰富的一般理论。傅里叶级数、傅里叶积分的理论由此产生，对十九世纪的数学和理论物理产生深远影响 昆仑冰川 热传导 (热传递的三种基本方式之一) 是指热量从系统的一部分传到另一部分或由一个系统传到另一个系统的现象。 其中, k 是导热系数, u(x, y, z, t ) 是导热体中的温度.写成分量形式 热传导定律: 热传导起源于温度 u 的不均匀,不均匀程度用梯度 表示; 热流强度 q 表示单位时间通过单位横截面积的热量, 根据实验结果得 单位时间内 x 方向净流入: 根据热量守恒定律: 单位时间内 y 方向和 z 方向净流入: 其中, c 是比热, 是密度. 对于均匀物体,有 记 ? 设 u( x, t )=T(t)·X(x) ? 分解为两个常微分方程 一维热传导问题 ? ? 固有值问题 分三种情形: (1) ; (2) ; (3) 先求解关于 m 的二次方程: 确定非零函数 X(x) 和数 对于二阶齐次线性常系数常微分方程 不具备固有函数特点 X(0) = 0, X(L) = 0 边界条件: (1) , 通解: ? ? ? (2) 通解: X(x) = Ax + B X(0) = 0, X(L) = 0 边界条件: ? 不具备固有函数特点 通解: (3) X(0) = 0, X(L) = 0 边界条件: 固有值: 固有函数: ( n=1,2,··· ) ? ? A = 0 ? un(x, t) = Tn(t) Xn(x) 一阶常微分方程 初始条件: ? (叠加原理) 是正交函数系证明 (固有值问题边界条件) 解传导问题步骤 一、写出固有值问题并求解 二、计算初值函数的付里叶级数系数 三、写出级数解 */16