§1.1 复数20121-9-5(上课用)§1.1 复数20121-9-5(上课用).doc

复函课上课注意事项 1.本学期复函学习的内容是: 复数与复变函数；解析函数；复变函数的积分；解析函数的级数表示；留数及其应用。 2.作业：每周交一次。希望大家能上交作业改错（占少许平时成绩）。用材料纸做，在纸的右上角写明个人信息分三行写： 自动化11-A班，学号，姓名。 3.期中考试：开卷形式，出一份1-3章内容试卷与解答（以及评分标准），写出1-3章内容的重点、难点，上交时间12周交。 4.期末成绩=平时（15%）+期中（15%） +期末（70%）. 复变函数的课程简单介绍 提问： / 函数在处可导吗？在该点的二阶导数存在吗？ 计算广义积分 丘成桐何许人？ 复变函数论的奠基人19世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论。柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人，直观地表示平面曲线方程等。搞清它们的联系和区别是学好该课程的关键。 它在流体力学、电磁学、热学、弹性理论、模电、信号学中都有广泛的应用。 复变函数期中考试要求（11级自动化） 自拟一份本课程的期中考试卷（卷面100分），共分三部分：【1】试题部分（60分）.【2】标准答案及评分标准（20分＋5分）.【3】一份试卷说明（前三章内容的重点、难点15分）。 具体要求如下： 一、试卷部分： 考卷分五个大题：选择题、填空题、判断、解答题、证明题。并将你的每题分数分布情况及作题要求附在各题后面。（试卷满分100分） 题目个数要求：选择题（5个）、填空（5个）、判断题（5个），解答题（10个），证明题（4个）（以小题个数计算共29题）。 3．题目内容要求：/ （1）第一章～第三章为止的教学内容为考卷出题内容。试 卷知识点覆盖面不低于所学内容的85％ 。 （2）课本内例题及习题:补充内容及题目:课本外题目的比 例是6：2：2 (比例可以略有缩动)。 （3）突出重点，体现难点，客观题要能反映平时易犯的错误。 （4）难度系数之比为： 简单题 ：中档题 ：难题＝3 ：6 ：1 (比例可以略有缩动)。 二、标答部分：客观题给出结果，解答题及证明题写出关键步骤及给分细则。 三、试卷说明：写出该课程前三章内容的重点与难点，写出试卷主要参考书的书名与作者。 四、每人的考卷不得交于他人“克隆”，两份相同试卷的出题人均以零分记载期中成绩。 五、交卷时间：前三章内容学完后的第1～2周。（大约在12周左右） 第一章 复数与复变函数 §1.1 复数及其代数运算 教学目的：熟练掌握复数的基本概念，掌握复数运算性质与运算方法。了解复平面概念．了解简单平面曲线复方程． 重难点：复数四则运算. 平面曲线的复数方程的写法． 教学过程： §1.1.1 复数的基本概念 提问： 1.复数的表示形式，以及单位？ 2.复数的运算性质？必须特别注意的事项是什么？ 3.共轭复数及其性质？ 1.复数 【定义】 形如（其中）的数称为复数，和分别称为复数的实部和虚部,称为虚数单位，满足. 记为：,. 规定：1）设复数及， 则相等 ； 2）虚部为零的复数是实数，即， 特别 ； 实数集是复数集的子集 (为复数集). 3）虚部不为零的复数称为虚数；实部为零且虚部不为零的复数称为纯虚数. 2.共轭复数 称为复数的共轭复数. 它们在复平面上关于实轴对称. 重要性质：； ； ；. §1.1.2 复数的四则运算 1.复数的加、减法（和与差） 复数相加（减）的法则是： ， 运算结果分别为是复数与的和或差.运算可按实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）得到. 易证，复数的加法满足交换律和结合律，而且减法是加法的逆运算.（类似多项式的同类项和并） 2.复数的乘法（积） 两个复数相乘， ， 称为复数与的积. 易证，复数的乘法满足交换律和结合律，且还满足乘法对加法的分配律.（ 类似于多项式乘法，注意） 3.复数的除法（商） 两个复数相除 （注意除数）， （）称为复数与的商.易知，除法是乘法的逆运算. （把分子、分母同乘以分母的共轭复数，再根据复数的乘法进行简化） 4.由复数的四则运算可得, 共轭复数具有如下性质: ； ； （）； 引进了复数的四则运算后，全体复数所成的集合也称为复数域，记为，可以验证关于实数的一切代数恒等式在复数域内仍然成立。 注意： 复数不能比较大小. 例1：（1）设，求 ，. （2）设 ，计算 . （3）设 ，计算 . （#）；；，. 注意几点： 1）. 2）. 3）.（使用频率较高） 4）.（使用频率较高） 例2 为何值时，等式 成立． 分析解法：先把左边化