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《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解直线与圆、圆与圆的位置关系《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系
[知识能否忆起]
一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)
相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ=0 Δ>0 几何观点 d>r d=r d<r
二、圆与圆的位置关系(O1、O2半径r1、r2,d=|O1O2|)
相离 外切 相交 内切 内含 图形 量化 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d <r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2|
[小题能否全取]
1.(教材习题改编)圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是( )
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.相交过圆心 D.相离
解析:选B 由题意知圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d=,0<d<,故该直线与圆相交但不过圆心.
2.(2012·银川质检)由直线y=x+1上的一点向圆x2+y2-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为( )
A. B.2
C.3 D.
解析:选A 由题意知,圆心到直线上的点的距离最小时,切线长最小.圆x2+y2-6x+8=0可化为(x-3)2+y2=1,则圆心(3,0)到直线y=x+1的距离为=2,切线长的最小值为=.
3.直线x-y+1=0与圆x2+y2=r2相交于A,B两点,且AB的长为2,则圆的半径为( )
A. B.
C.1 D.2
解析:选B 圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离d=.则r2=2+d2=,r=.
4.(教材习题改编)若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点,则实数k的取值范围是________.
解析:由题意知 >1,解得-<k<.
答案:(-, )
5.已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x+2y-8=0,则两圆公共弦所在的直线方程是____________.
解析:两圆相减即得x-2y+4=0.
答案:x-2y+4=0
1.求圆的弦长问题,注意应用圆的几何性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可用勾股定理或斜率之积为-1列方程来简化运算.
2.对于圆的切线问题,要注意切线斜率不存在的情况.
直线与圆的位置关系的判断
典题导入
[例1] (2012·陕西高考) 已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则( )
A.l与C相交 B.l与C相切
C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能
[自主解答] 将点P(3,0)的坐标代入圆的方程,得
32+02-4×3=9-12=-30,
所以点P(3,0)在圆内.
故过点P的直线l定与圆C相交.
[答案] A
本例中若直线l为“x-y+4=0”问题不变.
解:圆的方程为(x-2)2+y2=4,
圆心(2,0),r=2.
又圆心到直线的距离为d==3>2.
l与C相离.
由题悟法
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.
(2)代数法:联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交.
以题试法
1.(2012·哈师大附中月考)已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,其斜率k的取值范围是( )
A.(-2,2) B.(-,)
C. D.
解析:选C 易知圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,直线l的方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,根据点到直线的距离公式得<1,即k2<,解得-<k<.
直线与圆的位置关系的综合
典题导入
[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点,则弦AB的长等于( )
A.3 B.2
C. D.1
(2)(2012·天津高考)设m,nR,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是( )
A.[1-,1+ ]
B.(-∞,1- ][1+,+∞)
C.[2-2,2+2 ]
D.(-∞,2-2 ][2+2,+∞)
[自主解答] (1)圆x2+y2=4的圆心(0,0),半径为2,则圆心到直线3x+4y-5=0的距离d==1.
故|AB|=2=2=2.
(2)圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0的距离为=1,所以m+n+1=mn≤(m+n)2,整理得[(m+n)-2]2-8≥0,解得m+n≥2+2或m+n≤2-2.
[答案] (1)B (2)D
由题悟法
1.圆的弦长的常用求法:
(1)几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则2=r2-
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