02-02 单元位移函数.doc

§2-2 单元位移函数 从本节起，我们以三角形单元为例进行单元分析。分析中，每一单元都假设为一连续的，均匀的，各向同性的弹性体。 单元分析的作用和内容。 由弹性力学知，如果弹性体的位移分量是坐标的己知函数，就可由几何方程求得应变分量，再由弹性方程求得应力分量。但是，如果仅知道弹性体(或单元)中几个点(例如节点)的位移分量的数值，是不能直接求得其应变分量和应力分量的。 为了能用节点位移分量表示单元上的应变、应力等，首先就必须把单元上任一点的位移分量表示为坐标的某种函数。当然，这些函数在上述几个节点上的数值，应当等于其己知值。这种做法，实际上是假定单元上各点按某种模式变形，各点的位移值则是由己知点(节点)按这种模式插值取得。 采用的函数称为位移函数或位移模式。 位移模式的选取，实质上是选一个假想的坐标函数来近似地描述实际位移的变化规律，其必须具备二个条件： 满足收敛条件； 能较好地反映单元实际位移，又便于数学处理。 一、收敛准则 收敛：有限单元法作为一种数值方法，其解答应随着网格的逐步细分，收敛于问题的精确解。这是一切数值解法的要求。 数学理论已经证明：在给定载荷之下，有限单元法计算模型的变形要比实际变形小。即，当单元网格逐步细化时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，得到真实解的下界。这是因为人为地给定位移模式，相当于对结构多加了约束，限制了变形、提高结构的刚度。 从前面有限单元法的简介可以看出，在单元形状确定之后，位移模式的选取是关键。载荷的移置、应力矩阵及刚度矩阵的建立等等都依赖于位移模式。很难想象，选择一个与真正位移分布有很大差别的位移模式而能得到良好的数值解。 为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三个条件（收敛准则）： 1. 位移模式必须包含单元的刚体位移。 这要求当节点位移是由某个刚体位移引起时，单元内不会有应变。这样，单元就不但具有描述单元自身变形的能力，而且具备了描述由于其他单元形变而连带引起的刚体位移的能力。 这种能力是必要的，因为多数单元的刚体位移成分是很大的，甚至是重要的。例如，在靠近悬梁的自由端处，单元的应变很小，其位移主要是由于其他单元变形而引起的刚体位移。 2. 位移模式必须能反映单元的常应变。 每个单元的实际应变一般包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的变应变；另一部分则是与位置坐标无关的常应变。当单元尺寸较小时，单元中各点的应变趋于相等，即单元形变趋于均匀，这时常应变就成为应变的主要部分。因此，位移模式中不包含常应变，就不可能正确反映单元的位移形态。 3. 单元的位移模式应保证结构位移的连续协调。 也就是说单元内位移是连续的，单元间变形是协调的，不会出现二部分相互迭合或相互脱离。对于在以后讨论的梁，板和壳单元等，还要求单元之间有斜率的连续性。 单元内变形的连续性是容易保证的，只需将位移函数取为坐标的单值连续函数即可。 而在单元之间保证连续性较困难。但可以证明，当单元界面(或边界)上的位移仅由该界面上的节点位移唯一确定时，单元间的变形协调性要求即可满足。 满足条件1和条件2的单元称为完备单元； 满足条件3的单元称为协调单元或保续单元。 同时满足三个条件的单元为完备协调单元。 但在某些梁、板壳分析中，要使单元满足条件3比较困难，实践中有使用只满足条件1、2的单元，其收敛性也是令人满意的。  二、多项式位移模式的选取 在有限单元法的实际应用中，普遍选择多项式作为位移模式。 主要是基于二方面的考虑： 根据数学理论，任一闭区间上的光滑函数，都可以用多项式逼近，项数愈多、愈精确。 是多项式便于数学处理(微分和积分)，最重要的是很容易满足收敛条件。 在多项式位移模式的具体选取时，还应注意下面二个问题： 1. 位移模式应该与局部坐标系的方位无关。 这一性质称为几何各向同性，其等价于位移模式不应偏惠于任意坐标方向，也就是位移形式不应随局部坐标的更换而改变。经验证明，实现几何各项同性的一种方法是，根据如下巴斯卡三角形来选择二维多项式各项： 在二维多项式中，若包含有巴斯卡三角形对称轴一边的任一项，则其亦应同时包含有另一边的对称项。当然，为了满足收敛准则1、2，常数项和一次项总是要有的(具体说明见后)。例如，要构成一个有八项的三次模式，则由以下各项构成的模式是满足几何各项同性的：(1)包含常数项、线性项、二次项及、项；或者(2)包含常数项、线性项、二次项，再加上和项。 2. 待定系数的个数等于单元的自由度数 位移模式的项数愈多，所表达的解和真实位移分布愈接近。但位移模式中各项的待定系数要由节点位移来确定。若把节点数与每一节点的位移分量的个数的乘积称为单元自由度，那么待定系数的个数一般应当等于单元的自由度数。 三、三节点三角形