研究生非线性作业.doc

结构非线性有限元分析 姓 名： 学 号： 专 业： 任课教师： 1、求下图所示单元的刚度矩阵，设(。 解：⑴求 ，，， ，，三角形面积 从而 ⑵求 当(时，平面应力问题与平面变形问题的相等，得 ⑶求 ⑷求 = 2、设有均质、等厚的三角形单元ijm，受到沿y方向的重力载荷的作用。求均布体力移置到各结点的载荷。 解：设此三角形单元ijm的厚度为t，三角形ijm的面积为A，重度为γ，则 单元的节点为： 根据形函数的性质有： 得： 上式表明，受自重荷载情形的等效节点力为单元重量的。 3、在程序中，对增量方程求解的平衡迭代采用修正的牛顿迭代法或BFGS法，简述两种方法的处理过程。 ⑴ 修正的牛顿迭代法。考虑单变量为x的非线性方程具有一阶导数，在xn点作一阶泰勒级数展开，它在xn点的线性近似为： 因此，非线性方程，在xn点近似为线性方程： 由上式求得n步的修正项： ， 在几何非线性的有限元法中，结构的刚度矩阵与其几何位置有关，平衡方程由变形后的位形描述，因此，结构的刚度矩阵是几何变形的函数。设变形为δ，结构的平衡方程式： 其为一个非线性方程组，记非线性方程 用Newton-Raphson方法求的根时，迭代公式分别为 其中满足下式：。 式中称为切线刚度矩阵，表达式为：= 在每一个迭代步中，通过求解切线刚度矩阵，进而用进行迭代求解。Newton-Raphson方法求解过程中，每次都计算，计算速度较慢。有时直接采用第一次迭代计算得到的切线刚度作为来加速计算，即：，称为修正的Newton-Raphson方法。但这个方法收敛速度可能会减慢。修正的牛顿迭代法在迭代过程中系数矩阵保持不变，因此不需要重新形成和分解刚度阵，从而大大减少了计算量。性能有所改进。 ⑵BFGS法。又称矩阵修正迭代，是拟牛顿法的一种。它实际上是完全的牛顿法与修正的牛顿法之间的一种折中方法。因为它在迭代过程中，并不重新形成刚度阵，但也不保持不变，而是用某种方法对刚度阵（确切地说是对它的逆）进行修改，从而求解。它在有限元分析遇到的许多问题中，具有相当好的收敛性，尤其在复杂材料的非线性分析和动态分析中推荐采用BFGS法。 4、简述非线性问题求解方法及其简要过程。 在非线性问题求解中考虑小变形范围内的材料非线性弹性问题。由于是小变形，有限元中的平衡方程和几何关系与线弹性问题相同。非线性弹性材料的本构方程是非线性的，写成如下一般形式：。在平衡方程中，若以节点位移表示，则方程为非线性。写成刚度矩阵的形式后，应是,此式为非线性方程，可以用迭代法求解。用迭代法求解主要有以下几种方法： ⑴割线刚度法 材料的应力应变关系能够表示如下：，考虑到小变形时，则上式可以写成：，定义非线性刚度矩阵如下：，平衡方程的迭代公式为：. 在迭代过程中，先取，求出,可求得,作为第一次近似，再从进行，求算,进而解出,多次迭代直至为止。是所求解的结果。 即在每次迭代中系统受全部荷载的作用，并取与前一次迭代终了时的应力状态相对应的割线刚度。在本次迭代后以新的应力状态来修正刚度进行下一次迭代。直至前后两次迭代的结果充分接近（即误差足够小）为止。 ⑵牛顿迭代法 考虑单变量为x的非线性方程具有一阶导数，在xn点作一阶泰勒级数展开，它在xn点的线性近似为：， 因此，非线性方程，在xn点近似为线性方程： 由上式求得n步的修正项：， 在几何非线性的有限元法中，结构的刚度矩阵与其几何位置有关，平衡方程由变形后的位形描述，因此，结构的刚度矩阵是几何变形的函数。设变形为δ，结构的平衡方程式： 其为一个非线性方程组，记非线性方程 用Newton-Raphson方法求的根时，迭代公式分别为 其中满足下式：。式中称为切线刚度矩阵，表达式为：=。在每一个迭代步中，通过求解切线刚度矩阵，进而用进行迭代求解。 ⑶增量—变弹性法（切线模量法） 增量法是采用分段线性化的处理方法来要求解非线性问题。把荷载划分为许多很小的荷载增量，逐级地施加于结构上，在每一级增量时结构均假定为线性的，在增量范围内刚度为定值。对于各级荷载增量，其刚度取不同值。以此来反 映非线性特性，这一方法的基本特点如下图： 若总的荷载被分为m个增量，则可将荷载表示为： 当荷载施加到第J级增量时，增量型的刚度方程为： 每级荷载增量时的刚度是由第一次荷载终了时的应力状态所决定。第一级荷载增量时可取为初始的刚度。每一级荷载增量后，可直接利用荷载给出的塑性条件及相