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有限元方法理论及其应用考试题目及要求2014
南京理工大学
机械工程学院研究生研究型课程考试
题目及要求
课程名称： 有限元方法理论及应用
考试形式：□专题研究报告 □论文 □大作业 □√综合考试
考试题目：“有限元方法理论及应用”理论研讨及上机实验
试题及要求：
一、课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分）
撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。
二、分析与计算（40分）
1、图示两个结构和单元相似，单元方位相同的平面应力有限元模型，两模型的单元厚度和材料相同。两个模型右端单元边上受均匀剪切面力。对于下列2种情况，试根据有限元法和力学有关知识来分析论证两个模型求解后对应节点（节点1）的位移值和对应单元的应力值之间的关系：1）两个模型面力的合力相等；2）两个模型面力值相等。（10分）
(4)对上图（a）,（b）求解刚度矩阵：
单元编号 i j m (1) 1 2 4 (2) 3 1 4 (3) 3 4 6 (4) 5 3 6 对于（a）(b)刚度矩阵相等
结构总的刚度矩阵的组集：
(5)外部载荷与约束力：
对于第一种情况；（a）
(b)
对于第二钟情况：(a)
(b)
位移矩阵：
有约束条件可知：
（7）根据最小势能原理：
进行求解
位移和应力值的关系：
对于第一种情况：
节点1的位移：
单元（1）的应力值：
对于第二种情况：
节点1的位移：
单元（1）的应力值：
证明3节点三角形单元满足协调性条件（相邻单元之间位移连续）。（10分）
证明：假设任意两个相邻的三角形单元如图所示：
这里采用x,y的一次多项式作为位移插值函数：
将广义坐标换为单元节点自由度的二维插值：
（1）相邻之间单元连续，先说明插值函数连续；
有方程可知道u,v函数在平面内是连续的。
（2）单元1(i-j-m)和单元2（i-j-n）在i-j边界处连续；
（a）先证明u函数在单元间连续
把，代入上面的方程：
有上式可以看出在边界处的位移变化与m,n点的坐标值无关，只是与 i,j的坐标值和位移值有关，所以单元1与单元2在i-j边界处u值相等
(b)同理可证得：单元1与单元2在i-j边界处v值相等
(3)结论：由于插值函数连续，单元1与单元2在边界处u,v的值相等，所以三节点三角形单元相邻单元之间位移连续。
对4节点四边形平面等
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