第四章 等参数有限元方法.doc

第四章 等参数有限元方法 §4.1 引言 在有限元法中，提高计算精度的有效方法是提高单元的计算精度。一种高精度的单元不仅要求采用高阶插值函数的位移模式，而且应能较好地适应物体的边界几何形状。 §4.2 等参数单元的概念 本节首先从平面任意四边形单元着手，介绍等参元的一些基本概念。 平面问题的有限元法中，最简单而又常用的是常应变三角形单元，其次是具有4结点的矩形单元。矩形单元，由于它的位移是坐标的二次函数，因而能比常应变三角形单元较好地反映实际应力的变化情况，但是矩形单元不能适应曲线边界和非正交的直线边界，也不能随意地改变大小，如果能改用任意的四边形单元，如图4-1所示，上述缺点就能克服，但是对于任意四边形单元，如采用矩形单元的双线性位移模式 （4.2.1） 则相邻单元的公共边界上位移将是不连续的。这是由于在单元不平行于坐标轴的任意一个边界上，上述位移模式是二次函数 而不是线性变化的，因而在边界上的插值函数值不能由同一边界上两个结点的位移唯一的确定。 双线性位移模式不能直接地用于任意四边形单元。但是对于矩形单元，由于在边界上位移模式是线性的，即在矩形单元中的边界上位移完全由同一边界上的两个端点的位移唯一确定，因而单元间位移是连续的。也就是说单元是协调的。 为解决任意四边形单元的协调性问题，我们通过坐标变换，首先将xy平面上的任意四边形单元变换为平面上以原点为中心，边长为2的正方形单元，而xy平面上的结点1，2，3，4分别映射为平面上的结点1，2，3，4。这种变换不是对应于整个求解域进行，而是针对每个单元进行的，是局部坐标，它只应用于单元范围内，而为整体坐标，它适用于所有单元。 下面我们考虑局部坐标系下的单元。 设位移模式为 （4.2.2） 每个结点的位移可用位移矢量表示，即 每个单元有8个结点位移分量，于是单元结点的位移向量可表示为 为单元结点位移列阵。 将结点坐标代入位移模式，则得 （4.2.3） 上式是关于的线性方程组。且，，，，将坐标代入，求出，并进一步代入位移模式中，得 同理得 （4.2.4） 上式还可以写成 （4.2.5） 式中 （4.2.6） 四个式子可以写成统一的形式 （4.2.7） 显然，在单元边界上位移是线性变化的，即边界上的位移由同一边界上两个结点位移确定，从而保证了单元之间的位移连续性。 如果仿照位移模式，把坐标变换式取为 （4.2.8） 显然，局部坐标系中一点，在整体坐标系中必有一点，即与有一一对应的关系。而局部坐标系中的四个结点恰好对应于整体坐标系中任意四边形的四个结点。 这种坐标变换所采用的插值函数与位移模式所采用的插值函数的单元称为等参数单元，简称等参元。可以看到：这种单元在单元之间位移是连续的。 单元刚度矩阵和单元的等效结点力的形式与下节类似。 §4-3 平面8结点曲边四边形等参数单元 4.3.1 位移模式 任意四边形等参数单元的位移模式逼近实际位移的精度是受到限制的。此外，用单元的直线边界去拟合物体的曲线边界时，总不可避免地降低了计算模型逼近实际模型的精度。在单元中提高位移的阶次，从而提高了应变和应力的阶次，能很好地提高有限元分析的精度。 对于8结点曲边四边形单元，在局部坐标系下同样采用正方形，单元的结点位于正方形的角点和各边的中点。位移模式可假设为 （4.3.1） 上述位移模式在边界上，当固定时，位移为的二次函数；而当固定时，位移是的二次函数，因此称双二次位移模式。而在边界上有三个结点，同一边界上的三个结点位移可以唯一地确定边界上的位移表达式。 将结点坐标和结点位移代入位移模式，可以求得及，回代入位移模式，从而得 （4.3.2） 式中 （4.3.3） 形函数的性质：，即形函数在本点上为1，在其它结点上为零。 对于坐标采用同样的插值函数，则坐标变换为 （4.3.4） 显然坐标变换将平面中的8个结点分别映射成平面中坐标的8个结点。而且在平面中每一条边都是一条二次曲线，它完全由对应边上3个结点的坐标唯一确定。 现在来考察单元的收敛性： ⅰ）协调性 由于相邻单元的公共边界是由改变上的3个结点坐标唯一确定的二次曲线，因此该边上某点应有相同的形函数，公共边上一点的位移可有边上的结点位移唯一确定，即单元是协调的。 ⅱ）完备性 单元的位移模式是否反映刚体位移和常应变，要看它是否具有如下形式的位移项： （4.3.5） 为此，可先假设单元结点的位移与上述位移场相一致，即 （4.3.