毕业设计 因子分析.doc

第八章 因子分析 §8.1 什么是因子分析及基本思想 1904年Charles Spearman发表一篇著名论文《对智力测验得分进行统计分析》视为因子分析的起点。因子分析的形成和发展有相当长的历史，最早用以研究解决心理学和教育学方面的问题，由于计算量大，又缺少高速计算的设备使因子分析的应用和发展受到很大的限制，甚至停滞了很长时间。后来由于电子计算机的出现，才使因子分析的理论研究和计算问题，有了很大的进展。目前这一方法的应用范围已十分广泛，在经济学、社会学、考古学、生物学、医学、地质学以及体育科学等各个领域都取得了显著的成绩。 1 什么是因子分析 因子分析是主成分分析的推广和发展，它也是将具有错综复杂关系的变量（或样品）综合为数量较少的几个因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系，同时根据不同因子还可以对变量进行分类，它也是属于多元分析中处理降维的一种统计方法。 例如，某公司对100名招聘人员的知识和能力进行测试，出了50道题的试卷，其内容包括的面较广，但总的来讲可归纳为六个方面：语言表达能力、逻辑思维能力、判断事物的敏捷和果断程度、思想修养、兴趣爱好、生活常识等，我们将每一个方面称为因子，显然这里所说的因子不同于回归分析中因素，因为前者是比较抽象的一种概念，而后者有着极为明确的实际意义，如人口密度、工业总产值、产量等。 假设100人测试的分数可以用上述六个因子表示成线性函数： 其中表示六个因子，它对所有Xi是共有的因子，通常称为公共因子，它们的系数称为因子载荷，它表示第i个应试人员在六个因子方面的能力。是第i个应试人的能力和知识不能被前六个因子包括的部分，称为特殊因子，通常假定，仔细观察这个模型与回归模型在形式上有些相似，实质很不同。这里的的值未知的，并且有关参数的统计意义更不一样。因子分析的任务，首先是估计出和方差，然后将这些抽象因子赋予有实际背景和因子之间的相互关系，以达到降维和对原始变量进行分类的目的。 因子分析的内容十分丰富，本章仅介绍因子分析常用的两种类型：R型因子分析（对变量作因子分析）和Q型因子分析（对样品作因子分析）。 2 基本思想 因子分析的基本思想是通过变量（或样品）的相关系数矩阵（对样品是相似系数矩阵）内部结构的研究，找出能控制所有变量（或样品）的少数几个随机变量去描述多个变量（或样品）之间的相关（相似）关系，但在这里，这少数几个随机变量是不可观测的，通常称为因子。然后根据相关性（或相似性）的大小把变量（或样品）分组，使得同组内的变量（或样品）之间相关性（或相似性）较高，但不同组的变量相关性（或相似性）较低。 从全部计算过程来看作R型因子分析与作Q型因子分析都是一样的，只不过出发点不同，R型从相关系数矩阵出发，Q型从相似系数阵出发都是对同一批观测数据，可以根据其所要求的目的决定哪一类型的因子分析。 §8.2 因子分析的数学模型 1 数学模型（正交因子模型） R型因子分析数学模型 用矩阵表示： 简记为 且满足： 1） ii） 即F和是不相关的； iii）即F1…Fm不相关且方差皆为1。 即不相关，且方差不同。 其中是可实测的p个指标所构成p维随机向量，是不可观测的向量，F称为X的公共因子或潜因子，即前面所说的综合变量，可以把它们理解为在高维空间中的互相垂直的m个坐标轴；aij称为因子载荷是第i个变量在第j个公共因子上的负荷，如果把变量Xi看成m维因子空间中的一个向量，则表示Xi在坐标轴Fj上的投影，矩阵A称为因子载荷矩阵；称为X的特殊因子，通常理论上要求的协方差阵是对角阵，中包括了随机误差。 由上述模型满足的条件可知：是不相关的。若相关时，则D(F)就不是对角阵，这时的模型称为斜交因子模型，本章将不讨论这种模型。 类似地，Q型因子分析数学模型为： 此时X1, X2, …, Xn表示n个样品。 因子分析的目的就是通过模型代替X，由于，从而达到简化变量维数的愿望。 因子分析和主成分分析有很多相似之处，在求解过程中二者都是从一个协方差阵（或相似系数阵）出发，但这两种模型是有区别的，主成分分析的数学模型实质上是一种变换，而因子分析模型是描述原指标X协方差阵结构的一种模型，当时，主不能考虑，此时因子分析也对应于一种变量变换，但在实际应用中，m都小于p，且为经济起见总是越小越好。另外在主成分分析中每个主成分相应的系数是唯一确定的，即因子戴荷阵不是唯一的，若为任一个阶正交阵，则因子模型可写成：，仍满足约束条件，即，所以也是公共因子，也是因子载荷阵。因子载荷这个不唯一性，从表面上看是不利的，但后面将会看到当因子载荷阵A的结构不够简化时，可对A实行变换以达到简化目的，使新的因子更具有鲜明的实际意义。从因子分析的数学模型上看，它与多变量回归分析也有类似之处，但本质的区别是因子分析模型作为“自变