《平面与平面垂直的性质》-1.ppt

* 1、平面与平面垂直的定义 2、平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 符号表示： b 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 提出问题： 该命题正确吗？ Ⅰ. 观察实验 观察两垂直平面中,一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系? Ⅱ.概括结论 平面与平面垂直的性质定理 b 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 简述为： 面面垂直 线面垂直 该命题正确吗？ 符号表示： Ⅲ.知识应用 练习1：判断正误。 已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l下列命题 (2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ） (3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β（ ） (1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（ ） √ × × 例1：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC， B O P A C (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。 (1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。 (1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC 又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC, BC 平面ABC ∴BC⊥平面PAC (2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC 解题反思 2、本题充分地体现了面面垂直与 线面垂直之间的相互转化关系。 1、面面垂直的性质定理给我们提供了一种证明线面垂直的方法 面面垂直 线面垂直 性质定理 判定定理 例 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ. 证法一： γ α β a b c P M N 设α ∩ γ =b, β ∩ γ =c,在γ 内任取一点P，作PM ⊥ b于M，PN ⊥C于N. 因为 α⊥γ，β ⊥γ ， 所以 PM ⊥ α， PN ⊥ β. 因为 α ∩ β= a， 所以 PM ⊥ a， PN ⊥ a， 所以 a⊥γ. 线线垂直 线面垂直 γ α β a 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ. 证法二： P b 任取P∈a，过点P作b⊥γ. ∩ ∩ 因为α ⊥γ， 所以b α， 因为β ⊥γ， 因此b β， 故α ∩ β= b. 由已知 α∩ β= a， 所以a与 b重合， 所以a ⊥γ. 同一法 γ α β a 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ. 证法三： b c b′ c′ 设α⊥γ于b，β ⊥γ于c. 在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ. 同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ, 所以 b′ ‖c′, ∩ ∩ ∩ 又b′ β, c′ β, 所以 b′ ‖ β. 又 b′ α, α ∩ β=a, 所以 b′ ‖ a, 故 a ⊥ γ. 线线平行 线面垂直 练习2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB P A B C E 证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB 练习3：如图，以正方形ABCD的对角线AC为折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求BD与平面ABC所成的角。 A B C D D A B C O O 折成 1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 2、证明线面垂直的两种方法： 线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直 3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。 小结 线线垂直 线面垂直 面面垂直 α β a A B 线线平行 面面平行 平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号表示: 简述为： 面面垂直 线面垂直