一元高次方程解法-1.ppt

一元高次方程的解法 特殊的一元高次方程的解法 一般的高次方程及解法 数本1202 张银星 1．概念辨析 二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程 一般形式： 关于x的一元n次二项方程的一般形式为 注 ①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0. ②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 例（1） （2） 结论：对于二项方程 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根. 当n为偶数时，如果ab0，那么方程有两个实数根，且这那么方程没有实数根.两个根互为相反数；如果ab0，那么方程没有实数根. 2.概念辨析 （1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程. 注 当常数项不是0时，规定它的次数为0. （2）一般形式： 分析 求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程. 2．例题分析 例：解下列方程： （1） 令 ①△0,y1y20,y1+y20 ∴原方程有四个实数根. ②△0,y1y20,y1+y20 ∴原方程没有实数根. ③△0,y1y20, ∴原方程有两个实数根. ④△0 ∴原方程没有实数根. （2） (x2+x)2-5x2-5x=6. （3）(2x2-3x+1)2+4x2-1=6x ; 因式分解法 例题. x3-2x2-4x＋8=0． 　　解 原方程可变形为 x2(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x2-4)=0， (x-2)2(x+2)=0． 所以 x1＝x2＝2，x3=-2． 归纳： 当ad=bc≠0时，形如ax3＋bx2＋cx＋d=0的方程可这样解决： 令，则a=bk,c=dk,于是方程ax3+bx2+cx+d=0可化为 bkx3+bx2+dkx+d即 (kx+1)(bx2+d)=0． 倒数方程 例.12x4-56x3+89x2-56x+12=0. 观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程由　 　 　 　 解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19． 　　解 把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得 (x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19． 设 　　　　　　 则 (y-9)(y+9)=19， 即　　 　y2-81＝19． 　 一般的高次方程及解法 一、 1判根法 例 解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0 二、常数项约数求根法 例1 解方程x4+2x3-4x2-5x-6=0 （高代第一章的方法） 三、倒数方程求根法 1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如a x4+bx3+cx2+dx+e=0,其中，或者a= -e,b= -d 2、性质：倒数方程有三条重要性质： （1）倒数方程没有零根； （2）如果a是方程的根，则 也是方程的根； （3）奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1，分解出因式(x+1) 或(x-1) 后降低一个次数后的方程仍是倒数方程。 3、倒数方程求解方法： 如果a x4+bx3+cx2+dx+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即x 0,所以，方程两边同除以x2得：a(x2+ )+b(x+ )+e=0,令x+ =y, x2+ =y2-2,即原方程变为： ay2+by+(e-2a)=0, 解得y值，再由x+ =y，解得x的值。 例1 解方程2 x4+3x3-16x2+3x+2=0 四、双二次方程及推广形式求根法 例 (x-6)4+(x-8)4=16 解：本题属于双二次标准方程ax4+bx2+c=0推广形式的第四种类型（x-a）4+(x-b)4=c的形式 (x-6)4+(x-8)4=(x-7+1)4+(x-7-1)4,设y=x-7则原方程转化为 (y4+4y2+1+4y3+2y2+4y)+(y4+4y2+1-4y3+2y2-4y)=16 y4+6y2=0 , , y2=-7 或y2=1,y2=-7无解；y2=1, y= x-7= x1=8 x2=6 一元三次求根法 先把方程 化为 一元四次求根法 将 移项 俩边同时加上 左边配方