一曲线的参数方程-1.ppt

例4 还有其它方法吗？ 例4 法二： 思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？ 分别对应了椭圆在y轴的右，左两部分。 （1）判断点P1（1，2），P2（0，1）与曲线C的位置关系 （2）点Q(2,a)在曲线l上，求a的值. （3）化为普通方程，并作图 （4）若t≥0， 化为普通方程，并作图. 补例1．已知曲线C的参数方程为 （t为参数） 分析与解答:（1）若点P在曲线上，则可以用参数t表示出x, y，即可以求出相应t值. 所以，令 ∴t无解， ∴ 点P1不在曲线C上. 同理，令 ∴ 点P2在曲线C上. （2）∵Q在曲线C上， （3）将 代入y=3t2+1 ,如图. （4）∵t≥0, ∴ x=2t≥0, y=3t2+1≥1, 消去t，得： ∴ t≥0时，曲线C的普通方程为 (x≥0, y≥1). 点评:在（4）中，曲线C的普通方程的范围也可以只写出x≥0, 但不能写成y≥1，这是因为 是以 x为自变量，y为因变量的函数，由x的范围可以确定y的取值范围，但反过来不行. 即:所得曲线方程为y=f(x)或x=g(y)形式时，可以只写出自变量的范围，但对于非函数形式的方程，即F(x,y)=0，一般来说，x,y的范围都应标注出来. （1）互化时，必须使坐标x, y的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的. 如曲线y=x2的一种参数方程是（ ） 分析:在y=x2中，x∈R, y≥0，在A、B、C中，x,y的范围都发生了变化，因而与y=x2不等价，而在D中，x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，且以x=t,y=t2代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程. （2）在求x,y 的取值范围时，常常需用求函数值域的各种方法。如利用单调性求函数值域，二次函数在有限区间上求值域，三角函数求值域，判别式法求值域等。 注意: 解：y=cos2θ =1-2sin2θ =1-2x2 ∴应选C. 补例2 方程 所表示的曲线一个点的坐标是( ) (θ为参数) 补例3.参数方程 （θ为参数） 化成普通方程为 . 补例4： 下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是( ) 解：普通方程x2-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中 =ctg2t= 即x2y=1，故排除C.∴应选D. 补例5.直线：3x-4y-9=0与圆： 的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 A．线段 B．双曲线一支 C．圆弧 D．射线 答案：A。 分析 由 ，将其代入 ，整理得： 故该曲线是直线 上的一条线段，故选A。 补例6：曲线的参数方程为 ，则曲线是： 补例7：参数方程 表示： B．抛物线一部分，这部分过点 C．双曲线一支，这支过点 D．抛物线一部分，这部分过点 分析 因为 因此，参数方程表示抛物线 的一部分，这部分过点 ，故选B。 A．双曲线一支，这支过点 补例8．已知直线l1: x-ky+k=0, l2:kx-y-1=0. 其中k为参数，求l1, l2交点的轨迹方程. 解法1:求出两直线的交点坐标，即解方程组: 当k2≠1时，得到 这就是所求轨迹的参数方程，但如果要求轨迹的普通方程，需消去参数k. （k为参数） 解法2： 由kx-y-1=0，当x≠0时，可得 代入方程x-ky+k=0 得: 点评:①解法2中，方程两边同除以x，会丢x=0的解；方程两边同乘以x，会增x=0的根，所以最后得到轨迹方程后应检验是否是同解变形. ②两种方法得到轨迹的不同形式的方程，只要把参数方程中的参数消去，便可得到同样的普通方程.（不妨试试，可利用加减消元法消去k，但应关注y≠1的限制条件。） 去分母，化简得:x2-y2+1=0(x≠0) 当x=0时，存在k=0，使得y=-1. 所以，所求轨迹的普通方程为:x2-y2+1=0(y≠1). 补例9: 在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长. 解： 将圆的方程化为参数方程： （θ为参数） 则圆上点P坐标为(2+5cosθ ，1+5sinθ )，它到所给直线之距离 故当cos(θ-φ)=1，即φ=θ时 ，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(θ-φ)=-1,即θ-φ＝π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2). 例10：等腰直角三角形ABC，三顶点A、B、C按顺时针方向排列， ∠A是直角，腰长为a，顶点A、B分别在x轴y轴上滑动，求顶点C的轨迹方程（要求把结果写成直角坐标系