一阶微分方程解法-1.ppt

* §10.2 一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式为 一阶方程的初值问题的数学模型为 根据方程本身的特点，一阶方程又可分为： 一阶微分方程是最简单的方程. 求解的方法主要是 采用初等解法, 即把微分方程的求解问题化为积分问题. 一. 变量可分离的方程 形如 f(y)dy = g(x)dx 的一阶方程方程, 称为变量已分 离的方程. 形如 y’= f(x)g(y) 的一阶方程方程, 称为变量可分离的 方程. 设 g(y) ≠ 0, 则方程 可写成变量已分离的方程 若函数f与g连续，则两边分别对 x 与 y 积分, 得 就为变量可分离方程的通解. 其中c为任意常数. 例2 求方程 y’= 2xy 的通解. 解 分离变量, 得 两边积分，得 于是原方程的通解为 例3 求方程 的特解. 满足初始条件 解 分离变量, 得 两边积分，得 于是原方程的通解为 又将初始条件 故满足初始条件的特解为 代入通解中, 得 例4 已知需求价格弹性为 η = -1/Q2, 且当 Q = 0 时, p = 100 . 试求价格p与需求Q的函数关系 p = f(Q). 解 由需求价格弹性的定义, 有 这是变量可分离的方程,移项化简，得 两边积分,得 即 又将初始条件Q = 0 时, p = 100代入上式, 得 c 1=100 故需求函数为 二. 可化为变量可分离的方程 1. 齐次方程 的一阶方程，称为齐次微分方程, 简称 形如 齐次方程. 引入新的变换 就可将齐次方程化为变量可分离的方程. 分离变量, 得 若 u- f(u)≠0, 两端积分, 得 于是, 得 将变量还原, 便可得原方程的通解. 例5 求方程 的通解. 解 令 代入原方程, 得 则得 分离变量, 得 两端积分, 得 例6 求方程 的通解. 解 将方程恒等变形 则得 代入原方程, 得 分离变量, 得 两端积分, 得 三. 一阶线性微分方程 形如 y’+ p(x)y = q(x)的方程，称为一阶线性微分方程. 若 q(x) = 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = 0 为一阶齐次线性微分方程 若 q(x) ≠ 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = q(x) 为一阶非齐次线性微分方程. 1.一阶齐次线性微分方程的通解 方程 y’+ p(x)y = 0 是变量可分离的方程, 其通解为 其中c为任意常数. 2.一阶非齐次线性微分方程的通解 的解, 但其中的 c 为 x 的待定函数. 将 y与y’代入方程 y’+ p(x)y = q(x), 并整理, 得 一阶非齐次线性微分方程 y’+ p(x)y = q(x)是齐次方程 的一般情况. 我们可以设想非齐次线性微分方程有形如 两端积分, 得 于是, 一阶非齐次线性微分方程的通解为 注1 此公式是求非齐次线性微分方程的通解公式. 它是由齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个 特解相加而成的. 这也是线性微分方程解的一个性质. 注2 把齐次线性方程通解中的任意常数 c 变易为 待定函数c(x), 使其满足非齐次线性方程而求出的 c(x), 从而得到非齐次线性方程通解的方法称为 “常数变易 法”. 是求解线性微分方程的一种常用的重要方法. 例7 求方程 解 将方程改写为 的通解. 先求齐方程 的通解 分离变量, 得 两端积分并整理, 得齐方程的通解 用常数变易法求非齐次线性方程的通解 故原方程的通解为 y = (ex + c) (x+1)2 将 y与y’代入方程, 并整理, 得 两端积分, 得 例8 求方程 (sin2y + xcoty) dy = dx 的通解及满足初始 条件 y|x=1 = π / 2 的特解. 解 将方程改写为 所以由非齐次线性方程的通解公式, 得 将初始条件 x = 1, y = π/2 代入上式, 得 c = 1 故满足初始条件的特解为 x = siny(1-cosy) *