一阶线性微分方程及其解法-1.ppt

二、可分离变量的微分方程 注: 若题目只需求通解，则不必讨论 例1 例2 例9 (方法1) 选择题考点 （间断点，求旋转体体积，求平面图形面积，全微分，偏导数的几意义，二重积分几何意义，交换积分次序） 大题考点 1、求极限 2、隐函数求导（一个方程和方程组情形） 3、抽象函数求导 4、求极值 5、直角坐标系下计算二重积分 6、极坐标系下计算二重积分（或是化为极坐标） 7、解齐次方程（令U=。。，转化为U和X的方程） 8、解一阶线性方程（用公式或常数变易法） 9、讨论函数在分界点处的连续性，可导性，可微性 例1 解 一阶非齐次线性方程 解 两曲线的交点 面积元素 选 为积分变量 例 画草图如右 x y o 注： ，即动点P以任意方式即沿任意曲线趋向定 点P0时，都有f(P) A 求二重极限方法类似一元函数的一些方法：等价无穷小替换；重要极限公式；无穷小的性质；（恒等变形；利用连续性；夹逼准则；换元；利用公式和运算法则） 等价无穷小替换； 对于多元函数的极限要求不高，只要求会求些较简单的二重极限 注意：在多元函数中，洛必达法则不再适用，但如果通过换元后的一元函数照样可用 例 求 或用重要公式 原式 例 求 无穷小的性质 设 确定 两边对x求偏导数： 再对上式对x求偏导数：（按商的求导公式） 对于一阶偏导数，还可用公式法 讨论 (1) 连续；(2) 偏导数存在；(3) 可微. 解 (1) = 0 = f (0,0) (2) (3) ？ 则 r r w r r 2 2 ) ( 0 ) ( 0 lim lim y x xy x y x y + = = ? = ? * 则称方程（1）为可分离变量的微分方程. 解法 一阶微分方程的一般形式： 若方程（1）可以写成如下形式： 变量分离 两端积分 可以验证: (1.4)式为微分方程 (1) 的(隐式)通解. 求微分方程 解 分离变量 两端积分 C 求微分方程 解 分离变量 两端积分 C 注意到:当C=0时即y=0也是方程的解 应用: 衰变问题: 放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成其它元素,铀的含量不断减少,由物理学知识,铀的衰变速度与未衰变的原子的含量M成正比,已知t=0时,铀的含量为M0,求衰变过程中铀含量M(t)随t的变化规律 解 变量分离 两端积分 即 又 故 故,衰变规律为 练习 12.1第3题,增加一个条件:曲线过(2,3)点,求曲线方程 变量分离 两端积分 即 又 练习:12.2第3题 两边求导得: 变量分离 注意:这里隐藏一个初始条件 利用变量代换求微分方程的解 解 代入原方程 原方程的通解为 例6 变量代换是解方程的一种常用的手段 二、齐次方程 形如 的一阶微分方程称为齐次方程 或 解法： 针对齐次方程 ，作变量代换 即 ，则 将其代入原式，得： ，即 这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程； 然后，利用分离变量法求得 例1 求方程 的通解 解 原方程化为 ,即 这是齐次方程， 令 ,即 故 代入得： 进行分离变量整理，并两边积分， 故所求通解为： 这是关于变量u与x的可分离变量方程， 得： 书上还有一个例子，自己可以练习练习 求微分方程 ，满足初始条件 的特解 解： 方程可化为： 它是齐次方程。令 代入整理后，有 分离变量，则有 两边积分，得 即 代入上式，于是所求方程的通解为 把初始条件 代入上式，求出 ，故所求方程的特解为 例3 求方程 的通解 解：这是一个齐次方程。先将方程变形为 令 ,即 ，故 代入得： 这是关于变量u与x的可分离变量方程， 分离变量 ，并两边积分，得： 故 所以，原方程通解为 ： 五、小结 本节主要内容是： 1．齐次方程 2．齐次方程的解法：关键是令 ，从而 原方程转化为可分离 变量方程去求解； ，则 ，代入原方程后， 或 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程： 一、一阶线性微分方程及其解法 例1 在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次的，则称其为一阶线性微分方程。 1. 一阶线性微分方程的定义 （是） （是） 2. 一阶线性微分方程的一般式 3. 一阶线性微分方程的分类 当 时，方程（1）称为一阶线性齐次微 分方程。 当 时，方程（1）称为一阶线性非齐次 微分方程。 或 齐次线性方