三个正数的算术几何平均不等式-1.ppt

* 3.三个正数的算术-几何平均不等式 等号当且仅a=b=c时成立． 证明： 1.三个正数的算术-几何平均不等式： (1)如果a,b,c∈R+,那么a3+b3+c3_______,当且仅当______时, 等号成立. (2)定理3：如果a,b,c∈R+,那么 ,当且仅当 ______时,等号成立. ≥3abc a=b=c a=b=c 2.基本不等式的推广. 对于n个正数a1,a2,…，an,它们的算术平均不小于它们的几何 平均,即 ___ 当且仅当___________时, 等号成立. ≥ a1=a2=…=an 1.如果x0，如何求 的最小值? 提示： 当且仅当x=1时，取“=”.故 最小值为3. 2.若ab0,则 的最小值为_______. 【解析】因为ab0,所以a-b0, 所以 当且仅当 即a=2,b=1时，等号成立. 答案：3 3.设x,y,z0且x+3y+4z=6,则x2y3z的最大值是_______. 【解析】因为 所以x2y3z≤1，当且仅当 即 时，等 号成立. 所以x2y3z的最大值为1. 答案：1 1.对不等式 成立的a,b,c的理解 (1)在不等式中a,b,c的范围是a0,b0,c0. (2)三个正数的和为定值，积有最大值.积为定值,和有最小值, 当且仅当三个正数相等时取等号. 类型 一 用平均不等式求最值 【典型例题】 1.当x∈(0,1)时，函数y=x2(1-x)的最大值是_______. 2.θ为锐角，求y=sin θcos2θ的最大值. 【解题探究】1.题1中各项系数有正，有负,如何构造和为定值？ 2.题2中正余弦的积的形式，如何构造和为定值？ 【解析】1.因为0＜x＜1,所以1-x＞0, 所以当 即 时， 答案： 1.当x∈(0,1)时，函数y=x2(1-x)的最大值是_______. 2.由y=sin θcos2θ得，y2=sin2θcos4θ 当且仅当2sin2θ=cos2θ，即 时取等号，此时 2.θ为锐角，求y=sinθcos2θ的最大值. 【拓展提升】 1.用平均不等式求最值的方法 (1)利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”. (2)应用平均不等式，要注意三个条件，即“一正、二定、三相等”同时具备时，方可取得最值.其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等. (3)当不具备使用平均不等式的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性. 2.拼凑定值方法在基本不等式中的应用 利用平均不等式求解最值问题的前提是要求代数式的和或者积为定值，而题目条件往往无法满足，此时可以将平均不等式的取等条件作为出发点，拼凑定和(或积)，求积(或和)的最大(或小)值. 【变式训练】已知a,b,c∈R+,求 的最小值. 【解析】 当且仅当a=b=c时取等号. 故最小值为9. 类型 二 用平均不等式证明不等式 【典型例题】 1.已知a,b,c∈R+,求证： 2.设a,b,c∈R+，求证： 【解题探究】1.题1中如果将不等式的左边展开，可以证明不 等式成立吗？ 2.题2中利用一次平均不等式能否证明不等式成立? 探究提示： 1.如果将不等式的左边展开，则不等式变为： 无法利用平均不等式来证明. 2.不能.因为左边有分式，也有整式的形式，要用一次平均不 等式，还要利用一次基本不等式. 【证明】1.因为a,b,c∈R+, 所以(a+b)+(b+c)+(a+c) 所以 又 所以 当且仅当a+b=b+c=c+a，即a=b=c时，等号成立. 2.因为a,b,c∈R+, 所以 所以 而 所以 当且仅当a=b=c时等号成立. 【变式训练】已知a,b,c∈R+,证明 【解题指南】分析待证式子的特征,通过变形转化为用算术 几何平均不等式证明. 【证明】因为a，b，c∈R+,所以 所以 又 所以 当且仅当a=b=c时，等号成立. 所以 用平均不等式解应用题 【典型例题】 1.设三角形三边长为3,4,5,P是三角形内的一点，则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是_______. 2.制造容积为 立方米的无盖圆柱形桶,用来做底面的金属板的价格为每平方米30元,用来做侧面的金属板的价格为每平方米20元,要使用料成本最低,则此圆柱形桶的底面半径和高分别为多少? 【解析】1