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三次函数图像与性质(1) 探究一:初识三次函数图象形状 观察几何画板中几个三次函数图象,思考下列问题 探究二 三次方程根的问题 三次方程与三次函数有何关系? 只画x轴,画出有一根、两根、三根各种情况图象大致形状,标注相应的a与△的取值限制条件 由图像分析,探究a<0时,三次方程ax3+bx2+cx+d=0,有一根、两根、三根的问题,你有哪些方法? 作业: 1.设函数f(x)=x3-x2+(a+1)x+1,其中a为实数 (Ⅰ)已知函数f(x)在x=1处取得极值,求a的 (Ⅱ)已知不等式f (x)x2-x-a+1对任意a∈(0,+∞)都成立,求实数x的取值范围。 2.a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个实根、两个实根、三个实根,有没有可能无实根? * * * * * 图 象 a0 ao 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数a≠0) 函数 y x o y x o y x o y x o y x o y x o 复习:二次函数的图象与性质 2.我们如何研究三次函数的图象和性质? 1.类比二次函数,三次函数一般式是怎样? 讲授新课 例1.画出下列函数草图 C:\Users\Public\Desktop\几何画板.lnk Δ≤0 Δ0 Δ≤0 Δ0 a0 a0 x0 x x1 x2 x x0 x 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象 x1 x2 x Δ0 Δ≤0 x1 x2 x0 极大值f(x1) 极小值f(x2) 极值 图象 单调区间 无极值 (-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2) (-∞,+∞) (一) 三次函数的图像 总结: Δ0 Δ≤0 极小值f(x1) 极大值f(x2) 极值 图象 单调区间 无极值 (-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2) (-∞,+∞) x1 x2 x0 已知三次函数f(x) =ax3+bx2+cx+d的 导函数?/(x)的图象如右图所示,则y =f (x)的图象最有可能的是 A B C D y O 1 2 x y y x y x 1 2 O 1 2 1 2 x O O x y O 1 2 C 思考 探究二 三次方程根的问题 x1 x2 x0 x0 如 -x3+6x2-9x+10=0 方法一: 转化为a0利用图像 方法二: 利用图象 2: 已知函数 (1)若 ,关于 x 的方程 恒有3个不等实根,求实数K的取值范围(高考题节选) 分析:由 借助导数工具画原函数图像的大致形状,数形结合得到K的取值范围 1 2 x 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象 如图所示 课堂练习: (-∞,1)∪(2,+∞) 1、利用导数研究三次函数的图象和性质 2、利用图象与性质解决什么问题? (1)单调性、极值、最值问题;(2)讨论三次方程根的问题; 本课小结 3、思想方法: 数形结合,函数与方程, 分类讨论,转化思想 * * * * * *
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